高等数学同济第五版(下)微分方程

.,微分方程,第十二章,积分问题,微分方程问题,推广,一阶微分方程,高阶微分方程,.,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第十二章,.,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,.,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,即求s=s(t).,.,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,.,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,.,线性：未知函数及其各阶导数都是一次的。,.,第二节,第十二章,一阶微分方程,一、可分离变量微分方程,二、齐次方程,三、全微分方程（数一）,四、一阶线性微分方程,.,一、可分离变量微分方程,转化,解分离变量方程,可分离变量方程,.,分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,说明由确定的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0时,上述过程可逆,由确定的隐函数x(y)也是的解.,.,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),.,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,.,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,.,练习:,解法1分离变量,即,(C0,内满足拉普拉斯方程,二阶可导,且,试将方程化为以r为自变,量的常微分方程,并求f(r).,提示:,利用对称性,即,(欧拉方程),原方程可化为,机动目录上页下页返回结束,.,解初值问题:,则原方程化为,通解:,利用初始条件得特解:,机动目录上页下页返回结束,.,特征根:,例1.求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解:,代入方程定A,B,得,得,机动目录上页下页返回结束,.,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,机动目录上页下页返回结束,.,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,机动目录上页下页返回结束,.,思考:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,机动目录上页下页返回结束,.,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,机动目录上页下页返回结束,(1)试将xx(y)所满足的微分方程,变换为yy(x)所满足的微分方程;,(2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解:,上式两端对x求导,得:,(1)由反函数的导数公式知,(03考研),.,机动目录上页下页返回结束,代入原微分方程得,(2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得A0,从而得的通解:,.,题目录上页下页返回结束,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,.,例4.,解:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为m,地球质量为M,卫星,的质心到地心的距离为h,由牛顿第二定律得:,(G为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,机动目录上页下页返回结束,.,代入原方程,得,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,机动目录上页下页返回结束,.,为使,因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,机动目录上页下页返回结束,.,求质点的运动规,例5.,上的力F所作的功与经过的时间t成正比(比例系数,提示:,两边对s求导得:,牛顿第二定律,为k),开方如何定+?,已知一质量为m的质点作直线运动,作用在质点,机动目录上页下页返回结束,.,例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦,力,求链条滑下来所需的时间.,解:建立坐标系如图.,设在时刻t,链条较长一段,下垂xm,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律,得,机动目录上页下页返回结束,.,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,当x=20m时,(s),微分方程通解:,思考:若摩擦力为链条1m长的重量,定解问题的,数学模型是什么?,机动目录上页下页返回结束,.,摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来所需时间为,机动目录上页下页返回结束,.,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测,要求,需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函,数关系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正,比,比例系数为k(k0),试建立y与v所满足的微分,方程,并求出函数关系式y=y(v).(95考研),提示:建立坐标系如图.,质量m体积B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,机动目录上页下页返回结束,.,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,质量m体积B,得,机动目录上页下页返回结束,.,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,机动目录上页下页返回结束,.,故,再积分得通解,复习:一阶线性微分方程通解公式,机动目录上页下页返回结束,.,2.,(1)验证函数,满足微分方程,(2)利用(1)的结果求幂级数,的和.,解:(1),机动目