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.,Longlan_sophiey,全微分,.,*2、全微分在数值计算中的应用,应用,一元函数y=f(x)的微分,近似计算,估计误差,1、全微分的定义,.,一、全微分的定义,定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y),可表示成,其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作：,若函数在域D内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,处全增量,则称此函数在D内可微.,.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,由微分定义:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,.,定理1(必要条件),若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数,同样可证,证:由全增量公式,必存在,且有,得到对x的偏增量,因此有,.,反例:函数,易知,但,因此,函数在点(0,0)不可微.,注意:定理1的逆定理不成立.,偏导数存在函数不一定可微!,即:,.,定理2(充分条件),证：（略）,若函数z=f(x,y),的偏导数,在点(x,y)连续，,则函数在该点可微分.,.,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为,于是,.,例1.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例2.计算函数,的全微分.,解:,.,可知当,*二、全微分在数值计算中的应用,1.近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于近似计算;误差分析),(可用于近似计算),.,半径由20cm增大,解:已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则,高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.,求此圆柱体,.,例4.计算,的近似值.,解:设,则,取,则,.,分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计,利用,令,z的绝对误差界约为,z的相对误差界约为,则,.,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数,.,例5.利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以S的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,.,例6.在直流电路中,测得电压U=24伏,解:由欧姆定律可知,(欧),所以R的相对误差约为,0.3+0.5,R的绝对误差约为,0.8,0.3;,定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.,相对误差为,测得电流I=6安,相对误差为0.5,=0.032(欧),=0.8,机动目录上页下页返回结束,求用欧姆,.,3.微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,.
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