高中物理竞赛静电场讲义PPT课件

.,1,电磁学专题,讲授提纲,中学生物理奥林匹克竞赛,.,2,第一讲静电场,一、库仑定律带电体在库仑力作用下的运动二、电场强度叠加原理高斯定理及其应用三、电势电势叠加原理带电体系的静电能电场能量四、有导体时的静电场问题五、电容器六、电介质的极化和极化电荷极化强度电位移矢量有介质时的高斯定理,.,3,一、库仑定律带电体在库仑力作用下的运动,1、定律表述和公式（注意：静止、真空、点电荷）,0=8.8510-12C2N-1m-2(F/m),称为真空电容率。K=1/40,静止:两电荷相对于观察者静止。,真空:在电介质中公式要修正。,点电荷：电荷线度与电荷间距比较。,.,4,2、库仑力的求算（注意：矢量性、叠加原理）。,叠加原理:,例如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电量为q。圆环轴线上与环心相距x处有一点电荷，电量为Q。求点电荷Q与圆环电荷的相互作用力。,.,5,解：在圆环上取一小段l，其上电荷量为,当l足够小时，q与Q间的作用力为,.,6,例在光滑的水平桌面上，三个相同的不带电小球，由三根劲度系数相同的轻质弹簧连接构成等边三角形，弹簧的原始长度为l09cm。若让每个小球带上相同电量q1.8C，三角形的面积增大到原来的四倍时达到新的平衡（见图（a）。设弹簧是绝缘的，试求：（1）弹簧的劲度系数k的值；(2)在三角形中心0点放第四个小球Q(见图（b），它带多少电荷才能使弹簧的长度恢复至原始长度；(3)在(2)题情况下，过三角形中心O，作垂直于三角形平面的垂线，将电量q0=1C的点电荷置于垂线上的P点(见图（C），OP距离为h15cm，q0受力多少？,.,7,解（1）等边三角形面积增大为原来的四倍，三角形的边长增大为原来的两倍，即弹簧伸长量为l0，两点电荷间的库仑力等于弹簧的弹性力，即,（2）设加Q后，弹簧长度恢复至原始长度，则q有：,.,8,（3）由对称性知，q0受力沿OP方向,代入数据求得,.,9,例如图15-2所示，在x0的空间各点，有沿x轴正方向的电场，其中，xd区域是非匀强电场，电场强度E的大小随x增大而增大，即E=bx.b为已知量(b0)；在xd的区域是匀强电强，场强E=bd.x0的空间中的分布对称，场强的方向沿x轴的负方向一电子(质量为m、电量为-e，e0)。在x=2.5d处沿y轴正方向以初速V开始运动，求：(1)电子的x方向分运动的周期；(2)电子运动的轨迹与y轴的各个交点中，任意两个相邻交点间距离。,解,3、带电体在库仑力作用下的运动。,.,10,用d点的x和v代入前式得,.,11,例（B11Z4)如图所示，不计重力，空间有匀强电场E。质量均为m的小球A、B，A带电，q0，B不带电。t=0时。两球静止，且相距L。AB方向与电场E方向相同。T=0时刻，A开始受静电力作用而运动。AB之间发生弹性正碰而无电荷转移。求第8次正碰到第9次正碰之间需要的时间。解法一：以B为参考系，A先做匀加速运动，加速度为：到第一次碰撞前A的速度为：A开始运动到第1次碰撞所需时间为：第1次碰撞到第2次碰撞所需时间为：每2次碰撞间的时间间隔相同，所以第8次碰撞到第9次碰撞所需时间为,.,12,解法二：A先做匀加速运动，加速度为：A开始运动到第1次碰撞后，A静止，B以速度v做匀速直线运动。A开始运动到第1次碰撞所需时间为：设第1次碰撞到第2次碰撞所需时间为T1，则,.,13,这时设第2次碰撞到第3次碰撞所需时间为T2，则同理可得，第8次碰撞到第9次碰撞所需时间为,.,14,例(30y)如图所示,一质量为m、半径为R的由绝缘材料组成的薄球壳，均匀带正电，电量为Q,球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光滑水平面上。球壳内有一劲度系数为的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处水平位置，其一端与球壳壁固连，另一端恰位于球心处。球壳上开有一小孔C，小孔位于过球心的水平线上，在此水平线上离球壳很远处的O点有一电量为Q（0）、质量为m的点电荷P，它以足够大的初速度v0沿水平的OC方向开始运动。并知P能通过小孔C进入球壳内，不考虑重力和底座的影响。已知静电力常量为k。求P刚进入C孔到再由C孔出来所经历的时间。,.,15,解选初始时刻C的位置为坐标原点O，取坐标轴X轴（如图所示）。设P到达C孔时的速度为v1，球壳的速度为v2，由动量守恒和能量守恒得,（1）,（2）,P进入球壳后，P和球都做匀速运动，相对速度为。设经t1时间P与弹簧左端相碰，则有,（4）,由以上各式求得,（3）,.,16,t1时刻开始，P与弹簧碰撞，弹簧被压缩，设弹簧的压缩量为X.,设a1、a2分别为P和球壳的加速度，则,（5）,P相对球壳的运动作简谐振动，其准频率和周期分别为,（6）,P压缩弹簧至与弹簧分离的时间为,（7）,P与弹簧完全弹性碰撞后速度变为v2，球壳变为v1，相对速度大小不变，故P与弹簧分离后运动到小孔的时间t3=t1。所以P进入C孔再返回C孔的总时间为,（8）,P相对球壳的运动方程为,.,17,例：劲度系数为k，原长度为L的绝缘轻弹簧两端各系一个带电小球，两小球的质量和电量分别为m1、q1和m2、q2。空间加一均匀电场，电场强度为E。开始时两小球静止，弹簧沿电场方向放置。试求弹簧运动过程中弹簧的最大长度。(两小球间相互作用忽略不计),.,18,设两球在质心系中平衡位置的坐标为x10、x20，则,设在质心系中，某时刻m1、m2相对质心的坐标为x1、x2，则在质心系中两电荷受力为,.,19,(3)、则,下面讨论三种情况：,(1)、,(2)、,.,20,二、电场电场强度叠加原理高斯定理及其应用,1、电场强度定义式:,2、电场强度叠加原理：任何带电体的场强等于带电体上各部分电荷单独存在时场强的矢量和。,点电荷的电场强度:,.,21,例：电偶极子的电场强度,解：电偶极子的电偶极矩为：,.,22,.,23,例：电荷均匀分布的半球面球心处的电场强度：,电荷均匀分布的八分之一球面球心处的电场强度：,.,24,3高斯定理及其应用高斯定理：在静电场中作一个闭合曲S(称之为高斯面)，取闭合曲面上的一面积元dS，若面积元dS处的场强为E，则点积叫做dS上的电通量。闭合曲面上所有面积元的电通量之和等于闭曲面内电荷量代数和的1/0倍。高斯定理的数学公式为,利用高斯定理很容易求得下列几种电荷分布的电场强度公式：,半径为R的均匀带电球面的电场强度,解：作与带电球面同心的、半径为r球形高斯面，由高斯定理得,.,25,（rR）,(r0),因此有,同理求得球内的电场强度为：,半径为R的均匀带电球体内外的电场强度,.,26,（rR）,（rR）,.,27,半径R的无限长均匀带电圆柱面的电场强度（单位长带电荷）,解：作与带电圆柱体共轴的、半径为r柱形高斯面，,由高斯定理得,则得,（rR）,（rR）,.,28,半径R的无限长均匀圆柱体的电场强度（单位长带电荷）,解：作与带电圆柱体共轴的、半径为r柱形高斯面，,由高斯定理得,则得,（rR）,.,29,柱内,（ra)的正方形的四个顶点上，今让球l带电荷Q(Q0)，然后用一根细金属丝，其一端固定于球l上，另一端依次分别与球2，3，4和大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡若金属丝上的电荷可忽略不计，试求流入大地电荷的表达式,1球碰2球：,解,1球碰3球，2球在对称位置，对1、3球的影响相同：故,.,41,1球碰4球，设1球带电Q1,4球带电Q4，则：,解得：,.,42,设1球碰接地后的电量为q1：这时1球的电势U1=0，即,流入大地的电流为：,.,43,例一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道水平放置，其半径为R，圆心在O点。一金属小珠P穿在此轨道上，可沿轨道无磨擦地滑动，小珠P带电荷Q。已知在轨道平面内A点(OAaR)处放有一点电荷q，若在OA连线上某点上A处放电荷q，则给P一个初速度，它就沿轨道作匀速圆周运动。求A离环心的距离b和电荷q的值。解小珠作匀速圆周运动，说明小珠所受合力恒定，且指向环心O。这意味着轨道切向电场分量为零，也就是说，轨道上电势处处相等。设P为圆环上的任意点（x,y），若点电荷q放环内，环上的电势不可能处处相等，所以q必须放在环外（如图所示）。,.,44,解法1：从环上任一点电场的切向分量为零来求解。由图知，q、q在环上P点电场的切向分量分别为,(1),.,45,(2),(3),即,(5),(4),由（4）式知q与q符号相反。对（4）式两平方后再开三次方得,.,46,该方程应对任何角都成立，所以有,(8),(7),(6),由（7）式，并考虑到q与q，求得,将（8）式代入（6）式，经化简后得,(9),将（9）式代入（8）式得,(10),.,47,解法2：从环上电势处处相等来求解。环上电势处处相等，为简便起见，可设环上电势处处为零。则,(11),(14),(12),(13),对（1）式两边平方得,（2）式对任意角恒成立，故必有：,(15),.,48,点电荷q在电场中a点的电势能：设无限远处为电势能零点，则电荷在a的电势能等于将电荷从该点移至电势能零点，电场力做的功，即,静电力是保这守力，静电力做功与路径无关，只与起点、终点位置有关。则,3、带电体系的电势能（静电能）,、两个点电荷的电势能(相互作用能),静电场环路定理,.,49,、三个点电荷的相互作用能为,、N个点电荷的相互作用能：,.,50,棱边电荷配12对：,面对角电荷线配12对：,体对角线电荷配4对：,总电势能：,心角电荷配8对：,例求图示点电荷系的电势能,方法：1、公式；2、电荷两不重复配对，将各对点电荷的相互作用能求和。,.,51,、带电体的电势能（静电能）：,（电荷体分布）,（电荷面分布）,（电荷线分布）,例半径R、电量为q的均匀带电球面的电势能,解,.,52,例电偶极子在匀强电场中的电势能,解设-q处的电势为U、+q处的电势为U则偶极子的电势能为,.,53,两个质子和两个正电子分别固定在一边长为,其分布如图所示。现同时释放这四个粒子，估算四个粒子相距甚远时，各自,约为电子质量(正电子质量),的,说明:带电粒子系统的相互作用能(将带电粒子从无限原处移到当前位置所,其中,为第,个点电荷的电量，,电荷在,解：当两个质子和两个正电子分别固定在于一边长为,的正方形的四个顶点上时，系统的相互作用势能为,的正方形的四个顶点上，,速度的大小。质子质量,倍。,增加的能量)为,为其它,处产生的电势。,例,.,54,由于正电子质量远小于质子质量，近似地，可以认为当正电子跑的足够远时，质子还基本保持原位，这样近似有,最后，两个质子分开，有,.,55,例(27复)、如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为Q和-Q（Q0），半径分别为R和R/2，小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和O的连线MN沿竖直方向。在MN与两球面的交点B、O和C处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷量忽略不计,有一质量为m，带电荷量为q(q0)的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛，设静电力常量为k，重力加速度为g。1要使质点从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少?；2要使质点从A点上抛后能够到达O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少?解1质点在AB应作减速运动，设质点在A点的最小初动能为Ek0，则根据能量守恒有,(1),(2),.,56,2质点在BO的运动有三种可能情况：,(1),(3),外球面在B点的场力？,(2),(4),(5),(3),先减速，再加速，即有一平衡点D。,要略大一点,.,57,(6),质点能够到达O点的条件为,(7),由(6)、(7)两式可得质点能到达O点的最小初动能为,(8),要略大一点,.,58,例(b13-10)如图所示，在水平O-xy坐标平面的第1象限上，有一个内外半径几乎同为R、圆心位于x=R、y=0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度为E，沿着y轴方向的匀强电场。带电质点P在管道内，从x=0、y=0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为Ek0。P运动到x=R、y=R位置时，其动能减少了二分之一。(1)试问P所带电荷是正的，还是负的?为什么?(2)P所到位置可用该位置的x坐标来标定，试在2Rx0范围内导出P的动能Ek随x变化的函数。(3)P在运动过程中受管道的弹力N也许是径向朝里的(即指向圆心的)，也许是径向朝外的(即背离圆心的)。通过定量讨论，判定在2Rx0范围内是否存在N径向朝里的x取值区域，若存在，请给出该区域；继而判定在2Rx0范围内是否存在N径向朝外的x取值区域，若存在，请给出该区域。,.,59,解（1）、设O点为电势能零点，则管内y=R处电荷q的电势能为,由机械能守恒得,所以电荷q是负电荷。则有,（2）、设管内某点的坐标为（x,y)，t时刻q在该点的动能为Ek，因,.,60,所以,（3）设电荷q在（x,y)点受管道的弹力为N，且指向轨道中心，则,由机械能守恒得,X=0时,时,.,61,由上式知：电荷q在轨道上间受管道的弹力N始终径向朝里。,由对称性知：电荷q在轨道上间受管道的弹力N始终径向朝里。,.,62,例(22决)：电量为Q（0）的两个均匀带电圆环，环心在Z轴上，环面垂直于Z轴，坐标原点到环心O1、O2的距离都是D（D的大小可变）。1、一质量为m、电量为q(0)的带电粒子从Z处沿OZ轴正方向射向两圆环。已知粒子刚好能穿过两个圆环。试画出粒子的动能Ek随Z的变化图线，并求出与所画图线相应的D所满足的条件；2、若粒子初始时刻位于坐标原点Z0处，现给粒子一沿Z轴方向的速度（大小不限），试尽可能详细讨论粒子可能做怎样的运动。不计重力的作用。,解：1、Z轴上Z处的电势为,.,63,双峰时V（0）为极小值；单峰时V（0）为极大值。现在求双峰、单峰的条件。Z较小时有,.,64,略去z的3次以上的高次项得,.,65,由此可知：,设粒子的初动能为Ek0，则粒子在Z轴上的动能为,.,66,2、也分两种情况讨论：,两环在z轴上的电场强度为,（1）,.,67,（2）,（2）式代入（1）式得,（2）,.,68,上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，则,电场的总能量：,该处单位体积内的电场能量就等于,4、电场能量密度电场能量,电场能量密度：,电势能是定域在电场中的，有电场的地方就有能量。,.,69,例电量为Q、半径为R的均匀带电球体的电场能量,电子经典半径,.,70,四、有导体时的静电场问题,1导体静电平衡的条件和性质导体表面附近的场强,2有导体时静电问题的处理方法,法一：求E、U,.,71,.,72,例两个固定不动的理想导体板和平行近距离放置，分别带有电量-Q和+q(Qq0)。另一与板平行的理想导体板，质量为m，带电量为+Q，距板距离为d，平板面积均为s。导体板从静止状态释放后能够自由运动，并与平板发生完全弹性碰撞。忽略装置的边缘效应和重力，假设在两个板碰撞过程中，平板和之间的电量有足够的时间重新分布。试求：(1)平板和平板碰撞之前，各板上的电荷分布；（2）平板和平板碰撞之前，、板作用平板的电场强度；(3)在碰撞后平板和上的电量Q和Q是多少；(4)平板在碰撞后距离平板d时的速度v。,.,73,设平板碰撞前三板的电荷分布如图所示：则,解(1),.,74,平板移动d,F1作的功：,平板受电场力为：,(2),.,75,(4）,平板碰撞后4、5中和，则,平板碰撞后,、在处的场强为,板受力,(3),.,76,例两块很大的导体薄板A、B平行放置构成一电容器，极板的间距为d,对电容器充电至两极间电势差为U中撤去电源.现在电容器两极间平行插入两块与极板等大、且不带电的导体薄板C、D，四块导体板两两之间间距均为d/3，如图所示求相邻两导体板间的电势差；用导线连接C板与D板，然后撤去导线，再求各相邻两板间的电势差；再用导线连接A板与B板，然后撤去导线，则各相邻两板间的电势差是多大?,.,77,解(1),(2),(3),.,78,。,求得,.,79,法二：镜像法,唯一性定理：电荷分布给定，满足给定边界条件的解是唯一的。,平面组合,平面镜像,.,80,例：求像电荷的电量和离球心的距离b。,球面镜像,解：B点的电势为,B点为球面上的任意点，即对任何角上式恒等，故必有：,.,81,求原电荷q受的力；求A点的电场强度，当ra时A点电场的表达式，a取什么极限值时A点的电场强度为零(球完全屏蔽q的电场)。如图b所示，点电荷电量为q，质量为m，用长为L的细线悬挂着，悬挂点至球心的距离为l，不计重力。求电荷q小振动的频率。求q与球面上电荷的相互作用静电能。,图a,图b,例（G41）如图半径为R的接地导体球前有一点电荷q，他距球心的距离为a。,.,82,感应电荷对q的作用力为：,A点的电场强度为：,当ra时有,当a趋于R时，A点的场强为零，金属球屏蔽了A点的电场。,.,83,A点的电场强度为：,作用在q上的力为：,由右图知,.,84,单摆的运动方程为：,当很小时，也很小，故：,则：,.,85,q与感应电荷的相互作用静能为,.,86,五、电容器,1电容器电容的计算,计算公式：,方法：设q求UC=q/U。,单位长一段的电容,平板电容器,球形电容器,圆柱形电容器,.,87,复杂电容电路:,(1)对称性分析，对称点可短路。,简单电容电路:用电容串并联公式.,串联:,并联:,.,88,例如图所示，两个相同无限电容器网络并联连接在A、B两点间。每一无限网络的结构是：从左边第一个电容器开始到电路中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右边，电路结构与左边电路结构左右对称。电路中所有电容器都是平行板真空电容器，每个电容器的电容量都是C。试求:AB间的总电容CAB。解由电路的对称性知，上图电路可等效成下图电路，则,.,89,等比数列前n项和的公式：,无穷递减等比数列前的和公式：,.,90,(2)星三角变换,Y,Y,2电容器储能公式:,.,91,3含源电容器电路问题,求：1、电容上的电压和电量；2、若H点与B点短路，求C2的电量。,例,.,92,解1、将图a电路压成平面图b，可看出电流通路为AEHGOBA。回路电流,以A点为电势零点，图中其余各点电势分别为,各电容器上的电压和电量分别为,.,93,2、将H、B两点短路得两个分回路HGOBH和HEABH。HEABH回路中的电流为,.,94,例(30j4)一个电路包含内阻为RE、电动势为E的直流电源和N个阻值均为R的相同电阻。有N1个半径为r的相同导体球通过细长导线与电路连接起来，为消除导体间的互相影响，每个导体球外边都用半径为r0（r0r）的同心接地导体薄球壳包围起来。球壳上有小孔容许细长导线进入但与球壳绝缘。如图所示。把导体球按从左向右的顺序依次编号为1到N1，所有导体起初不带电。将开关闭合，当电路达到稳定后，导体球上的总电量为Q，问：导体球的半径r是多少？已知静电力常量为k。,.,95,解：设第i个导体球的电量为Qi，则包围导体球的接地球壳内表面上的电量为Qi，电荷都均匀公布，球与球壳间的电势差为,（1）,球壳接地，则第i个导体球的电势为,（2）,对（2）式求和得,（4）,（3）,.,96,对电路中的电流通路有,（5）,（6）,（7）,（8）,将（6）式代入（3）式得,由（7）式解得,.,97,例如图所示电路中，电容器C1、C2、C3的电容值都是C，电源的电动势为，R1、R2为电阻，K为双掷开关。开始时，三个电容器都不带电先接通oa,再接通ob，再接通oa,再接通ob,如此反复换向。设每次接通前都已达到静电平衡，试求：(1)当S第n次接通o、b并达到平衡后，每个电容器两端的电压各