1955年全国统一高考数学试卷

1955年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共8小题，共100分）1以二次方程x23x1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。专题：计算题。分析：由韦达定理可知已知方程两根的关系，再利用平方转换即可解答：解：设原方程的两根为，则由根与系数关系可得：+=3，=1，又，2+2=（+）22=11，22=1，故所求的二次方程为x211x+1=0点评：本题考查了学生对韦达定理的利用，和两根之间平方的转换2等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦考点：余弦定理。分析：根据题意可得到AB=AC=4BC，再由余弦定理可求出各角的余弦值解答：解：设AB=AC=4BC，而AD为底边上的高，于是=点评：本题主要考查余弦定理的应用属基础题3已知正四棱锥底边的长为a，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征。分析：设SABCD为正四棱锥，SO为它的高，从而SAO为侧棱与底面的交角，在等腰直角三角形SOA中即可求出棱锥的高解答：解：设SABCD为正四棱锥，SO为它的高，底边长为a，SAO=450AO=由SOA为等腰直角三角形，故棱锥SABCD的高SO=点评：本小题主要考查直线与平面所成的角，以及棱锥的结构特征等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题4写出二面角的平面角的定义考点：与二面角有关的立体几何综合题。专题：阅读型。分析：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角就是为了衡量两个相交平面的相对位置的，为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度解答：解：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角点评：二面角的平面角作图关键：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内；三是平面角的两边都与二面角的棱垂直5多项式x3+bx2+cx+d适合于下列三条件：（1）被x1整除；（2）被x3除时余2；（3）被x+2除时与被x2除时的余数相等，求b，c，d的值考点：带余除法。专题：计算题。分析：由（1）多项式x3+bx2+cx+d能被x1整除，故f（1）=0，由（2）多项式x3+bx2+cx+d被x3除时余2，故f（3）=2，由（3）多项式x3+bx2+cx+d被x+2除时与被x2除时的余数相等，则f（2）=f（2）由此可以构造一个关于b，c，d的方程组，解方程组即可得到答案解答：解：根据余数定理及题设条件可得f（1）=1+b+c+d=0f（3）=27+9b+3c+d=2f（2）=f（2）=8+4b2c+d=8+4b+2c+d化简式可得c=4将其分别代入可得b+d=39b+d=13解得b=2，d=5综上，b=2，c=4，d=5点评：本题考查的知识点是带余除法，其中利用已知条件构造一个关于b，c，d的方程组，是解答本题的关键6由直角ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E，交股的延长线于F，交外接圆于G，求证：EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质。专题：证明题。分析：要证明EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项，即证EG2=EAEB=EDEF，分析积等式中的线段所在的位置，发现EG为直角AGB的斜边AB上的高，由射影定理，我们易得，EG2=EAEB，再根据直角AEF直角DEB，根据相似三角形的性质，我们可以得到对应边成比例，然后利用等量代换的思想，即可得到结论解答：证明：连接GA、GB，则AGB也是一个直角三角形，因为EG为直角AGB的斜边AB上的高，所以，EG为EA和EB的比例中项，即EG2=EAEBAFE=ABC，直角AEF直角DEB，即EAEB=EDEF又EG2=EAEB，EG2=EDEF（等量代换），故EG也是ED和EF的比例中项点评：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1射影定理的内容及其证明； 2圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3圆幂定理的内容及其证明；4圆内接四边形的性质与判定7解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义。专题：计算题。分析：本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解解答：解：cos2xsin2x=cosx+sinx，（cosx+sinx）（cosxsinx）（cosx+sinx）=0，（cosx+sinx）（cosxsinx1）=0如果cosx+sinx=0则得1+tgx=0，tgx=1，如果cosx+sinx1=0则得cosxsinx=1，点评：本题是一个三角恒等变换问题，与初中学习锐角三角函数一样，高中也要研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化8一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形考点：等差数列的性质；数列的应用。专题：应用题。分析：根据等差数列的性质可设出三边长xd，x，x+d，因为其周长为12尺，故可求出x，再利用海伦公式列出方程，求出d，根据勾股定理的逆定理进行证明解答：证明：可设其长分别为xd，x，x+d，因为三角形的周长为12尺，（xd）+x+（x+d）=12，x=4（尺）于是该三角形的三边又可表示为4d，4，4+d由该三角形的面积为6，三边长为4d，4，4+d，代入求面