1957年全国高考数学试题及其解析_第1页
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1957年全国高考数学副题及其解析试卷上不必抄题,但须写明题号,例如:甲、乙、等.一、甲、方程3x2-5x+(k+1)=0若有实数根,k的值应当怎样？乙、设a、b、c为ABC的三边,已知a2=b2+bc+C2,求a边的对角A.丁、设P为一个60的二面角的平分面上任意一点,求证从P到二面角的棱的距离等于从P到二面角的一个面的距离的两倍.戊、已知一个直圆锥的高为1.2尺,其侧面积为底面积的2倍,问此底面积为若干平方尺. （答案要一位小数）三、如图,已知AD,BC为梯形ABCD的一底,ABC=90,ABD=,AED=,BDC=, BE=a.求证: 四、一圆周被AB弦分为优劣两弧,C为优弧的中点,D为劣弧上任一点.又E为劣弧AD的中点,F为劣弧DB的中点.若于CD弦上任取一点P,PA与CE交于Q，PB与CF交于R,则QR与AB平行,试证明之.五、在已知边长为a的正六边形的每边上依次取 12的内分点,并顺序连结分点作成内接正六边形.又对这个新的正六边形,用同样方法再作内接正六边形.这样继续作了n次之后,则得n个新的正六边形,其边长依次设为x1,x2,xn.(1)求边长x1,x2,xn ;(3)求这n个新正六边形面积的和. 1957年副题答案解析一、甲、由题意知=25-12(k+1)0, 1312k, 乙、由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,又由题设知a2=b2+c2+bc,-2bccosA=bc,A=120.丙、作法:作线段AB=a,延长AB至C,令BC=b. 以AC为直径作半圆. 作BDAC,与半圆交于D. 在DA连线上取DE=c. 过E作EFBD,与DC连线交于F,则DF为求作的x.注意:考生仅作出一图即可.丁、证:如图,设是二面角的一个面,P是平分面上一点.过P作棱AB的垂直平面与AB交于C点,与平面交于一条直线CD.过P作PDCD于D.则线段PC是P至AB的距离,PD是P至的距离.戊、解:设底半径=r,直圆锥底面积=r2.由分解因式得x=y+5,x=y-3.于是原方程组分为下列两个方程组: 解方程组(i) ,得两组解:解方程组(ii),得另两组解:三、证明:在BDE中,由正弦定理知四、证明:连结CA、CB,则CA=CB.E为AD弧的中点,F为DB弧的中点,ACE=ECD,BCF=FCB.在CAP与CPB中,PQQA=CPCA,PRRB=CPCB,PQQA=PRRB,
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