1[1].3.2球的表面积与体积

,球的表面积与体积,学习目标:,1、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割求和化为准确和”；2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题；3、能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题。,R,R,一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。,一、球的体积:,R,R,R,二、球的表面积:,R,S球表=4R2,例1:钢球直径是5cm,求它的体积.,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是,答:空心钢球的内径约为4.5cm.,由计算器算得:,(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2),例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,例题讲解,变式训练1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为()A.16B.20C.24D.32(提示:底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱),解析:该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为2,其外接球的直径为该四棱柱的体对角线.,RS=4R2=24,答案:C,训练:(2008四川高考)一个六棱柱的底面是正六边形.其侧棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的高为底面周长为3,那么这个球的体积为_.,解析:依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1,又高为所以球的直径为2,故球的体积为,如下图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?,课堂练习二,解:由图可知,半球的半径为4cm,圆锥的高为12cm.V半球V圆锥4212=64cm3,冰激凌化了,不会溢出杯子.,(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?,侧棱长为5cm,两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.,球内切于正方体,(变式3)把正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里,能否装得下?,半径为4cm的木盒能装下的最大正方体与球盒有什么位置关系?,球外接于正方体,两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上。,例4:有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.,分析:作出截面图,分别求出三个球的半径.,解:设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球心作截面如右图,所以有2r1=a,r1所以,(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如下图.所以S2=4r22=2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如下图所示,所以有所以S3=4r23=3a2.综上可得S1:S2:S3=1:2:3.,思考:体积之比又是多少呢?,8,2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.,练习1:,探究：若正方体的棱长为a，则：(1)正方体的内切球的直径=(2)正方体的外接球的直径=(3)与正方体所有的棱相切的球的直径=,4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.,练习2:,1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.,2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.,3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.,7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是_.,6.若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为_.,练习2:,5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_.,3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积是()A.8cm2B.12cm2C.16cm2D.20cm2,解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线,球的半径为球的表面积S=4.,答案:B,4.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大的球的体积是其它两个球的体积和的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍,解析:记三个球的半径分别为1,2,3,则大球的体积V3=33=36,两个小球的体积和V1+V2=(13+23)=12.最大球的体积是其它两个球的体积和的3倍.,答案:C,易错探究,例4:(2010广州模拟)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是_cm3.,例2:如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01cm),8,6,6,18,5,15,15,11,11,x/,y/,z/,解：这个奖杯的体积为,V=V正四棱台+V长方体+V球,V正四棱台,V长方体=6818=864,V球=,所以这个奖杯的体积为,V1828.76(cm3),例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R，截面O的半径为r，,例题讲解,例题讲解,能力提升,例.球面上有四个点PABC,如果PAPBPC两两互相垂直,且PA