高中数学第1章导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用讲义新人教B版.docx

1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用学 习 目 标核 心 素 养1能根据定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数(难点)2掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用(重点、易混点)通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升学生的数学运算素养.一、几个常用函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)二、基本初等函数的导数公式原函数导函数ycy0yxn(nN)ynxn1，n为正整数yx(x0，0且Q)yx1，为有理数yax(a0，a1)yaxln ayexyexylogax(a0，a1，x0)yyln xyysin xycos_xycos xysin_x1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若yx32，则y3x22.()(2)若y，则y.()(3)若ye，则y0.()解析(1)由yx32，y3x2.(2)由y，y.(3)由ye，y0.答案(1)(2)(3)2给出下列命题：yln 2，则y；y，则y；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.其中正确命题的个数为()A1B2C3D4解析对于，y0，故错；显然正确，故选C.答案C3若函数f(x)10x，则f(1)等于()A.B10C10ln 10D.解析f(x)10xln 10，f(1)10ln 10.答案C利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y3x；(5)ylog5x.思路探究首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式解(1)y(x12)12x11(2)y(x4)4x5.(3)y()(x)x.(4)y(3x)3xln 3.(5)y(log5x).1若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解2对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误3要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别1若f(x)x3，g(x)log3x, 则f(x)g(x)_.解析f(x)3x2，g(x)，f(x)g(x)3x2.答案3x2利用公式求函数在某点处的导数【例2】质点的运动方程是ssin t，(1)求质点在t时的速度；(2)求质点运动的加速度思路探究(1)先求s(t)，再求s.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导解(1)v(t)s(t)cos t，vcos .即质点在t时的速度为.(2)v(t)cos t，加速度a(t)v(t)(cos t)sin t.1速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数2求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值2(1)求函数f(x)在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)cos x在处的导数解(1)f(x)(x)x，f(1).(2)f(x)sin x，fsin .导数公式的应用探究问题1f(x)x，f(x)x2，f(x)均可表示为yx(Q)的形式，其导数有何规律？提示：(x)1x11，(x2)2x21，()x1，(x)x12点P是曲线yex上的任意一点，求点P到直线yx的最小距离提示：如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近，则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.【例3】求过曲线f(x)cos x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程思路探究解因为f(x)cos x，所以f(x)sin x，则曲线f(x)cos x在点P的切线斜率为fsin ，所以所求直线的斜率为 ，所求直线方程为y，即y x.若将上例中点P的坐标改为(，1)，求相应的直线方程解f(x)cos x，f(x)sin x，则曲线f(x)cos x在点P(，1)处的切线斜率为f()sin 0，所以所求直线的斜率不存在，所以所求直线方程为x.求曲线方程或切线方程时，应注意1切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；2曲线在切点处的导数就是切线的斜率；3必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点1已知f(x)x(Q)，若f(1)，则等于()A.B.C. D.解析f(x)x，f(x)x1，f(1).答案D2给出下列结论：若y，则y；若y，则y；若f(x)3x，则f(1)3.其中正确的个数是()A1 B2C3 D0解析对于，y(x3)，正确；对于，yx1x，不正确；对于，f(x)3，故f(1)3，正确答案B3已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析f(x)3ax21，f(1)3a1又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1答案14已知函数ykx是曲线yln x的一条切线，则k_.解析设切点为(x0，y0)，y，k，yx，又点(x0，y0)在曲线yln x上，y0ln x0，ln x0，x0e，k.答案5已知直线ykx是曲线y3x的