高考数学一轮复习专题9.8空间向量在空间几何体的运用（二）练习（含解析）.docx

9.8 空间向量在空间几何体的运用（二）一两条异面直线所成角的求法1.几何法（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）（2）图示2.向量法：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围0，求法cos cos 二直线与平面所成角的求法1.几何法（1）线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角（2）图示2.向量法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos |.三求二面角的大小1.几何法（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（2）图示2.向量法(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)考向一 线线角【例1】如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值【答案】见证明【解析】(1)证明如图所示，连结BD，设BDACG，连结EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC2，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF，从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，AC，FG平面AFC，所以EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴、y轴，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.【举一反三】1如图，正方体中，异面直线和所成角的大小为（ ）ABCD或【答案】A【解析】连接，即为异面直线与所成角又即异面直线与所成角为：本题正确选项：2三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设棱长为1，由题意得：，又即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：考向二 线面角【例2】.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PNPB.(1)证明：MN平面PDC；(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值【答案】见解析【解析】(1)证明因为ABBC，ADCD，所以BD垂直平分线段AC.又ADC120，所以MDAD，AM.所以AC.又ABBC，所以ABC是等边三角形，所以BM，所以3，又因为PNPB，所以3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故DPM即为所求的角在RtPAD中，PD2，所以sinDPM，所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.【举一反三】1如图，在几何体中，四边形为矩形，平面平面，平面，为棱的中点.（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）因为平面，所以，又，所以平面，又因为，所以平面，平面，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，经计算可得，从而，所以在中，又平面，所以平面.（）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，.，设平面的一个法向量则即消去得，不妨设，可得，又，设直线与平面所成角为，于是，故直线与平面所成角的正弦值为.2如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，（1）证明：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)见解析.(2) .【解析】（1）证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则 .又，所以平面，所以.因为，所以是正方形，所以.又，所以平面.（2）因为四棱柱是直四棱柱，底面是矩形，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,， , ,设平面的法向量为由，可得，令，则，设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.考向三 面面角【例3】如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1.(1)求AA1的长；(2)若BP1，求二面角PA1CA的余弦值【答案】见解析【解析】(1)以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AA1t，则A(0,0,0)，C1(0,4，t)，B1(3,0，t)，C(0,4,0)，所以(0,4，t)，(3,4，t)，因为B1CAC1，所以0，即16t20，解得t4，所以AA1的长为4.(2)因为BP1，所以P(3,0,1)，又C(0,4,0)，A1(0,0,4)，故(0,4，4)，(3,0，3)，设n(x，y，z)为平面PA1C的法向量，则即取z1，解得y1，x1，n(1,1,1)为平面PA1C的一个法向量，显然，(3,0,0)为平面A1CA的一个法向量，则cosn，据图可知，二面角PA1CA的余弦值为.【举一反三】1如图，在四棱锥中，已知底面为菱形，为对角线与的交点，底面且（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】底面为菱形 又底面，底面，以为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系则，（1）设为异面直线与所成的角，又，异面直线与所成的角的余弦值为：（2）平面平面的法向量取设平面的法向量为，又，则，令，则，设为两个平面所成的锐二面角的平面角，则：平面与平面所成锐二面角的余弦值为：考向四 角的运用【例4】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点若，求证：；若平面平面，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值【答案】见解析【解析】证明：，为的中点，又底面为菱形，又，平面，又平面，；（）解：平面平面，平面平面，平面以为坐标原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系如图则由题意知：，0，0，设，则，平面的一个法向量是，0，设平面的一个法向量为，则，取，则，二面角大小为，解得，此时【举一反三】1.如图， 已知长方形中，为的中点 将沿折起， 使得平面平面（1） 求证：；（2） 若点是线段上的一动点， 问点在何位置时， 二面角的余弦值为【答案】见解析【解析】证明： （1）长方形中，为的中点，平面平面，平面平面，平面平面平面（2） 取中点为原点，为轴，为轴， 建立如图所示的直角坐标系，设，则平面的一个法向量， 1 ，（7分）， 0 ，设平面的一个法向量，则，取，得， 1 ，（10分）二面角的余弦值为，解得，故为的中点时， 二面角的余弦值为（11分）2四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，是中点，点在侧棱上（）求证：；（）若是中点，求二面角的余弦值；（）是否存在，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】证明：（）取中点，连接，因为，所以因为菱形中，所以所以因为，且，平面，所以平面所以（）由（）可知，因为侧面底面，且平面底面，所以底面以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系则，因为为中点，所以所以，所以平面的法向量为因为，设平面的法向量为，则，即令，则，即所以由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为（）设由（）可知设，则，又因为，所以，即所以在平面中，所以平面的法向量为，又因为平面，所以，即，解得所以当时，平面1如图，边长为1的菱形中， ，沿 将 翻折，得到三棱锥 ，则当三棱锥体积最大时，异面直线 与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】当三棱锥体积最大时，平面平面，边长为1的菱形中，取中点，连接，则平面，平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系则，设异面直线 与所成角为即异面直线 与所成角的余弦值为故选D。2在长方体中，点，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的正切值为_【答案】【解析】如图，设，则.，分别是，的中点，为异面直线与所成的角，则.故答案为：3如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，.（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离。【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）证明：连接OC，BODO，ABAD，AOBD，BODO，BCCD，COBD在AOC中，由题设知，AC2，AO2+CO2AC2，AOC90，即AOOCAOBD，BDOCO，AO平面BCD（2）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知MEAB，OEDC，直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中， OM是直角AOC斜边AC上的中线， ，异面直线AB与CD所成角大小的余弦为（3）解：设点E到平面ACD的距离为h，在ACD中，AO1，点E到平面ACD的距离为4如图所示，四棱锥中，平面，（）设的中点为，求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）求二面角的正弦值【答案】见解析【解析】（）证明：建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则，0，2，0，0，设平面的一个法向量为，则，令，得，1，而，0，即，又平面，故平面；（）解：，0，设与平面所成角为，由直线与平面所成角的向量公式有；（）解：平面的一个法向量为，1，由题意可知，平面的一个法向量为，可得二面角的正弦值为5如图，平面，是的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】见解析【解析】（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，0，0，1，3，0，0，0，1，0，所以，所以，因为，平面，且，所以平面（2）解：设平面的法向量为，则，因为，2，3，所以令，则，所以，1，是平面的一个法向量 分因为平面，所以平面的法向量所以，根据图形可知，二面角的余弦值为 分6如图，几何体中，平面，为正三角形，为等腰直角三角形，为直角，平面平面，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】见解析【解析】（1）证明：取中点，连接，连接，为等腰直角三角形，为直角，平面平面，面，为正三角形，故以为原点，建立空间直角坐标系（如图所示），0，0，0，又面的法向量为由，可得且面，平面；（2）可得，设面的法向量为由，可得，设面的法向量为由，可得，二面角的余弦值为7如图所示， 三棱锥中， 平面平面，是边长为 4 的正三角形，是顶角的等腰三角形， 点为的上的一动点 （1） 当时， 求证：；（2） 当直线与平面所成角为时， 求二面角的余弦值 【答案】见解析【解析】（1） 证明；取中点为，连接，由为正三角形知，在中，可得，在中， 由余弦定理可得，从而，即，平面，于是，即；（2） 解： 由 （1） 知平面，则与平面的夹角为，在直角中， 可得，则点为线段的中点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 （由 （1） 知点为靠近的三等分点） ，则点，从而，于是，设平面的一个法向量为，则，即，不妨取，得，又平面的一个法向量为，从而，故二面角的余弦值为8.如图1所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是线段AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2所示(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求直线BD与平面A1BC所成角的正弦值【答案】见解析【解析】(1)证明：在题图1中，连接CE，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以四边形ABCE为正方形，四边形BCDE为平行四边形，所以BEAC.在题图2中，BEOA1，BEOC，又OA1OCO，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由(1)知BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，又平面A1BE平面BCDE，所以A1OC，所以OB，OC，OA1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B，E，A1，C，得，由(，0,0)，得D.所以.设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)，直线BD与平面A1BC所成的角为，则得取x1，得n(1,1,1)从而sin|cos，n|，即直线BD与平面A1BC所成角的正弦值为.9.如图， 四棱锥中， 侧面为等边三角形， 且平面底面，（1） 证明：；（2） 点在棱上， 且，若二面角大小的余弦值为，求实数的值 【答案】见解析【解析】（1） 证明： 取的中点，连，为等边三角形， 且是边的中点，平面底面，且它们的交线为，平面，且，平面，（2） 分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，即：，设，且是平面的一个法向量，取，而平面的一个法向量为，10如图， 在四棱锥中， 平面平面，底面是平行四边形， 且，（1） 求证：；（2） 若底面是菱形，与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值 【答案】见解析【解析】（1） 证明： 过作，垂足为，连接，平面平面，且平面平面，平面，又，平面，则，在中， 由，得，在与中，；（2） 解： 法一、，平面，平面，平面，设平面平面直线，则，平面，是平面与平面所成锐二面角的平面角，平面，故是直线与平面所成角， 即，设，则，设，则，即，故，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为；法二、平面，平面，故是直线与平面所成角， 即，且，设，则，在中， 设，则，在中，则，以为坐标原点， 分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则， 0 ， 0 ，则平面的法向量，设平面的法向量，即，故取，得，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为11在四棱锥中，底面是一直角梯形，底面，是上的点，且（1）若，求异面直线与所成角的大小；（2）当为何值时，二面角的余弦值为【答案】见解析【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，2，0，由时，知，1，1，1，设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的大小为（2）由，0，2，设平面的法向量，则，取，得，由已知面，所以平面的一个法向量，0，所以，解得或因为，所以12如图，为正三角形， 且，将沿翻折 若点的射影在上， 求的长；（） 若点的射影在内， 且直线与平面所成角的正弦值为，求的长 【答案】见解析【解析】 （1） 过作交于，则平面取中点，连接，平面，平面，是正三角形，又，平面，平面，又，为的中点，为的中点 ，；（2） 以为原点， 以为轴， 以为轴，以平面的过的垂线为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：设二面角为，则， 0 ， 0 ， 2 ， 2 ，设平面的法向量为，则，令，得， 0 ，解得，又， 2 ，13在四棱锥中，底面ABCD，ABDC，点E为棱PC中点。（1）证明：平面PAD；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）如图，取PD中点M，连接EM，AME，M分别为PC，PD的中点，EMDC，且EMDC，又由已知，可得EMAB，且EMAB，四边形ABEM为平行四边形，BEAMAM平面PAD，BE平面PAD，BE平面ADP（2）PA底面ABCD，ADAB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）（1，2，0），（1，0，2），设平面PBD的法向量（x，y，z），由，得，令y1，则（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角满足：sin，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（3）（1，2，0），（2，2，2），（2，2，0），由F点在棱PC上，设（2，2，2）（01），故（12，22，2）（01），由BFAC，得2（12）+2（22）0，解得，即（，），设平面FBA的法向量为（a，b，c），由，得令c1，则（0，3，1），取平面ABP的法向量（0，1，0），则二面角FABP的平面角满足：cos，故二面角FABP的余弦值为：14在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，平面平面，且.（）求证：平面；（）求二面角的大小；（）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）平面平面，平面平面，直线平面. 由题意，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：，. 依题意，易证：是平面的一个法向量，又，又直线平面，. （2）.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得. 设为平面的法向量，又，则，即.不妨设，可得， ，又二面角为钝二面角，二面角的大小为. （3）设，则，又，又，即， ，解得或（舍去）.故所求线段的长为.15已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上（1）若为的中点，且直线，由三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为直线平面，故点在平面内也在平面内，所以点在平面与平面的交线上（如图所示）因为，为的中点，所以，所以，所以点在的延长线上，且连结交于，因为四边形为矩形，所以是的中点连结，因为为的中位线，所以，又因为平面，所以直线平面.（2）由已知可得，所以平面，所以平面平面，取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，设，则，设平面的法向量，则，取，则，所以，与平面所成的角为，所以，所以，所以，解得或，所以存在点，使得直线与平面所成的角为，取的中点，则为平面的法向量，因为，所以，设二面角的大小为，所以，因为当时，平面平面，所以当时，为钝角，所以.当时，为锐角，所以.16如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，且，点为的中点，点为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）所求余弦值为【解析】（1）证明：设中点为点，连接，易知，所以平面，平面，则平面平面，所以平面；（2），点为中点，.又在中，点为的中点，平面，且.不妨设，则，以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，易知平面的法向量为，设平面的法向量为，则取.，二面角的余弦值为.17如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.（）证明：AB1平面A1B1C1;（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的余弦值；（）求平面AB1C1与平面ABC所成角的正弦值.【答案】（）见解析；（）13013；（）12【解析】（）如图，以AC为中点O为原点，分别以射线OB，OC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：A0,-3,0,B1,0,0,A10,-3,4,B11,0,2,C10,3,1因此AB1=1,3,2,A1B1=1,3,-2,A1C1=0,23,-3由AB1A1B1=0得AB1A1B1，由AB1A1C1=0得AB1A1C1，所以AB1平面A1B1C1.（）设直线AC1与平面ABB1所成的角为，由（）可知AC1=0,23,1，AB=1,3,0，BB1=0,0,2，设平面ABB1的法向量n=x,y,z.由nAB=0,nBB1=0,即x+3y=02z=0,可得n=-3,1,0所以sin=cosAC1,n=AC1nAC1n=3913.则余弦值为13013.（）由上述条件可知AB1=1,3,2，AC1=0,23,1设平面AB1C1的法向量为m=a,b,c.由mAB1=0,mAC1=0,即a+3b=023b+z=0,，可得m=-3,1,-23平面ABC的法向可取BB1=0,0,2设平面AB1C1与平面ABC的夹角为 ， 则