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文档简介
三重积分的变量代换,柱面坐标代换球面坐标代换,三重积分的对称性,一、三重积分的换元法,例1.求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:,其中,解:令,则,1.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,因此,适用范围:,1)积分域是圆柱或它在某坐标面上的投影为圆(或一部分);,2)被积函数中含有x2+y2(相应地,y2+z2,x2+z2)形式.,其中为由,例2.计算三重积分,所围,解:在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,例3.计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,2.利用球坐标计算三重积分,就称为点M的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,因此有,适用范围:,1)积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面;,2)被积函数含x2+y2+z2一类式子.,例4.计算三重积分,解:在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,3.广义球坐标变换,直角坐标与广义球坐标的关系,例13.3.9.椭球的体积,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,*说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,二、利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,.积分区域关于坐标面的对称性；,.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是的奇函数,解,例7.求曲面,所围立体体积.,解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为,yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于xoz,轮换对称性：,若积分区域的表达式中将x,y,z依次轮换,表达式不变,则称关于x,y,z轮换对称.此时有,例8.设是由平面x+y+z=1和三个坐标面所围成的区域,求,解:由轮换对称性,说明：二重积分也有轮换对称性.,若积分区域D的表达式中将x,y依次轮换,表达式不变,则称D关于x,y轮换对称.此时有,例9.设,证:由轮换对称性,1.将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,综合例子,六个平面,围成,2.设由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对称性,用球坐标,3.计算,所围成.,其中由,分析：若用“先二后一”,则有,计算较繁!,采用“先
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