2009-2011下册--东北大学高数期末考试试题

20082009学年第二学期 试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数在点的某邻域内有定义，且，则 (A)； (B) 曲面在点的一个法向量为； (C)曲线在点的一个切向量为； (D) 曲线在点的一个切向量为2. 设，则下列级数中必收敛的是 (A)； (B) ； (C) ； (D) .3. 如果，则幂级数 (A) 当时收敛； (B) 当时收敛； (C) 当时发散； (D) 当时发散.4. 设是由球面所围成的闭区域，则= .(A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面在点处的法线方程为 .2. 函数在点处的全微分为 .3. 已知曲线为连接和两点的直线段，则曲线积分= .4. 由曲面与曲面所围立体的体积为 .5. 设为平面在第一卦限中的部分，则曲面积分= .6. 设是周期为4的周期函数，它在上的表达式为，的Fourier级数的和函数为，则 . 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）1. 求过点和且与平面垂直的平面方程.2. 设z = f (exsiny, x2 + y2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求. 3. 设具有连续偏导数，且对任意实数有(为自然数)，试证:曲面上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处).4. 计算二重积分，其中是由两条抛物线，所围成的闭区域.5. 将函数展开成关于的幂级数，并求展开式成立的区间.四、 (8分) 设曲线积分与路径无关，且，求，并求当A，B分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分，其中是抛物面被平面截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3(10分)平面通过球面x2 + y2 +z2 = 4(x - 2y - 2z)的中心, 且垂直于直线L: , 求平面与球面的交线在xOy平面上的投影, 并求投影与(1, -4, 1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.存在只是全微分存在的必要条件，故A是错误的。曲面的法向量为故B是错误的。切向量为故C是正确的，D是错误的。2. 【解】应选择D. 3. 【解】应选择B.4. 【解】应选择B.二、1. 【解】应填；，所求法线为：2. 【解】应填；。3. 【解】应填； 曲线L的方程为：，。4.【解】应填；5.【解】应填；6. 【解】应填 .三、1. 【解】 平面的法向量 所求平面方程为 . 2. 【解】 3. 【证】 F(tx, ty, tz) = tkF(x, y, z)两边对t求导得 xF1 + yF2 + zF3 = ktk - 1F(x, y, z) 令t = 1, 有xFx + yFy + zFz = kF(x, y, z) 设(x0, y0, z0)为曲面上任一点, 则过此点的切平面方程为 Fx(x - x0) + Fy(y - y0) + Fz (z - z0) = 0即 xFx(x0, y0, z0) + yFy(x0, y0, z0) + zFz(x0, y0, z0) = kF(x0, y0, z0) = 0,则过曲面上任一点(x0, y0, z0)的切平面都经过坐标原点. 4. 【解】 5. 【解】 () 两边积分 四、【解】 , 因曲线积分与路径无关，因此， 即 ,解得 所以 五、【解】 补充S1: z = 4 (x2 + y2 4)上侧, 则 设和所围成的区域为，则由高斯公式可得 = , , . 六、【解】 球面(x - 2)2 + (y + 4)2 + (z + 4)2 = 36, 中心坐标(2, -4, -4), 平面的法向量为(0, -1, 1), 所求平面方程为 -(y + 4) + (z + 4) = 0, 即 -y + z = 0. 交线, 在xOy平面上投影为 . 设投影上一点(x, y, 0), 所求距离为 d2 = (x - 1)2 + (y + 4)2 + 1 令 , 解出驻点(0, 0), (0, -8), (8, -4), (-4, -4) 七、【解】 级数收敛, 由比较审敛法, 级数收敛. 20092010学年第二学期 试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1. 函数在闭区域上的最小值为 .(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.2. 设函数连续，则二次积分= . (A) ； (B) ；(C) ； (D) .3. 设W为平面与三个坐标面所围成的闭区域，则= . (A) 1/6； (B) 1/8； (C) 1/12； (D) 1/24.4. 设，则级数 . (A) 与都收敛； (B) 与都发散； (C) 收敛而发散； (D) 发散而收敛.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1. 已知，与的夹角为，则= .2. 设是由曲面与围成的立体，则的形心坐标 .3.设曲线为连接与两点的直线段，则曲线积分= .4. 设为锥面被平面结下的有限部分，则曲面积分= .5.幂级数的收敛区间为则应满足 .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计35分）1. 求过点且与两个平面和的交线垂直的平面方程.2. 求函数在点处沿椭球面在该点的外法线方向的方向导数.3.计算, 其中是由曲线，和所围成的平面区域.4.求幂级数在其收敛域上的和函数.并求的值.5.设,是周期为的函数，将展成Fourier级数. 并求级数的和. 四、(8分) 一质点在力的作用下，由点沿上半圆移动到点，求力所作的功.五、(8分) 计算曲面积分，其中是由抛物面和球面所围成立体的表面外侧.六、(8分) 设函数有二阶连续偏导数，满足，且存在一元函数，使，求.七、(5分) 设是在的某邻域内定义的向量函数，定义为的模. 如果，其中是与无关而仅与有关的常数，是的高阶无穷小. 则称在点可微，记为.设，求.解答一、1.【解】应选择A;，.，.2.【解】应选择A； = = 3. 【解】应选择B； =4. 【解】应选择 D 又二、1【解】应填；因为所以 2【解】应填. 形心在，=3. 【解】应填；曲线的参数方程为，。4. 【解】应填 S:, Dxy: x2+y21, . =. 5. 【解】应填1.； 2. (0, 0, 3/8)； 3. ； 4. ； 5. .三、1. 【解】 取平面的法向量所求平面方程为. 2. 【解】 的外法向量 ，外法向量的方向余弦， 在处， 3【解】 =18. 4. 【解】 级数的收敛域为. 设，显然.，所以 .令得， = .5. 【解】 ， ， ， .时 的fourier级数收敛到时，故 .四、【解】 记曲线上由到点的一段有向弧为，则，积分与路径无关.五、【解】 记所围成的闭区域为，由Gauss公式有，.六、(8分) 解 记，由已知，有解得 ，.七、【解】 由已知，得因此，在点均可微，则，.当，时，.20102011学年第二学期试题一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1设，则函数在原点偏导数存在的情况是 .（A），都存在 （B）不存在，存在（C）存在， 不存在 （D），都不存在2设平面P 的法向量为，直线L的方向向量为，则是平面P 与直线L垂直的 . (A)充要条件； (B)充分条件 ； (C)必要条件； (D)无关条件.3设 S 是球面x2 + y2 + z2 = R2，则下列结果正确的是 . (A) ； (B) ； (C) ； (D) .4设常数，则级数 。（A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）收敛性与取值有关。5设曲线（具有一阶连续偏导数），为C上从点(-1, 1)到点(1, -1)的一段弧，则下列小于零的是 （A） （B）（C） （D）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1设，则在上的投影为 .2交换积分次序为 .3设正向闭曲线L的方程为，则= .4设, 是的以为周期的余弦级数展开式的和函数, 则 .5设函数由方程所确定，其中有连续导数，则 . 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）1设，其中具有二阶连续偏导数，求。2求曲面的与直线垂直的切平面的方程。3计算二重积分,其中D是由直线,，所围成的平面区域.4求，S是抛物面被平面z = 1截下的有限部分下侧。5求幂级数在收敛域内的和函数。四、 (8分) 设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z轴的转动惯量。五、(8分) 求抛物面 与平面 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离六、(8分)设是非负连续函数，且，计算曲线积分，式中L为沿从点到的曲线段.七、(6分)设级数收敛， 收敛，证明级数绝对收敛。解答一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1设，则函数在原点偏导数存在的情况是 B .（A），都存在 （B）不存在，存在（C）存在， 不存在 （D），都不存在2设平面P 的法向量为，直线L的方向向量为，则是平面P 与直线L垂直的 A . (A)充要条件； (B)充分条件 ； (C)必要条件； (D)无关条件.3设 S 是球面x2 + y2 + z2 = R2，则下列结果正确的是 D . (A) ； (B) ； (C) ； (D) .4设常数，则级数 C 。（A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）收敛性与取值有关。5设曲线（具有一阶连续偏导数），为C上从点(-1, 1)到点(1, -1)的一段弧，则下列小于零的是 B （A） （B）（C） （D）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1设，则在上的投影为 2 .2交换积分次序为 .3设正向闭曲线L的方程为，则= .4设, 是的以为周期的余弦级数展开式的和函数, 则 p2 + 2 .5设函数由方程所确定，其中有连续导数，则 1 . 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）1设，其中具有二阶连续偏导数，求。解 2求曲面的与直线垂直的切平面的方程。解 直线可化为，方向向量是。所以所求切平面的法向量是，曲面的法向量，令，得到切点坐标。所以切平面是 ，化简得 。3计算二重积分,其中D是由直线,，所围成的平面区域.解 积分区域是直角三角形，D的不等式表示是，故 4求，S是抛物面被平面z = 1截下的有限部分下侧。解 设S1：z = 1 ()上侧 5求幂级数在收敛域内的和函数。 解 设 (-3 x 3)四、 (8分) 设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z轴的转动惯量。