大学物理第5章 刚体力学基础ppt课件

大学物理,第五章刚体力学基础,1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变。,5.1.1、刚体平动与转动,2、刚体的平动:刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点,质点力学的规律适用。,注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。,特征：,各个质点的位移、速度、加速度相等。,3、刚体的转动:刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。,4、刚体的一般运动：刚体的一般运动可看成是平动和转动的叠加。,定轴转动:转轴在空间的位置固定不动。,1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。,特征：,5.1.2、刚体定轴转动的角量描述,平均角速度：,角速度：（矢量）,角加速度：（矢量）,角位移:,规定ox轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。,角位置：,刚体定轴转动的运动学方程。,定轴转动只有两个转动方向。,刚体作匀变速转动时，相应公式如下：,角量与线量的关系：,线速度与角速度之间的矢量关系为:,由于在定轴转动中轴的位置不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用代数值代替。,例题5-1一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变化关系为=(2+4t3)rad，式中t以秒计。试求：1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。2）当角为多大时，该质点的加速度与半径成45o。,解：1),2),(舍去t=0和t=-0.55),此时砂轮的角度：,例题5-2一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200rad/min,然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。若飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间？,解：整个过程分为三个阶段,加速阶段,匀速阶段,制动阶段,解：1)棒做变加速运动：,例题5-3一细棒绕O点自由转动，并知,L为棒长。求:1)棒自水平静止开始运动，=/3时,角速度?2)此时端点A和中点B的线速度为多大?,平动动能：,转动动能：,5.2.1、刚体的动能,定义：刚体对转轴的转动惯量：,SI单位：kg.m2,即：,注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。,2、转动惯量的计算：,若质量离散分布：（质点，质点系）,若质量连续分布：,其中：,1、定义：刚体对转轴的转动惯量：,5.2.2、转动惯量的计算：,描述刚体转动惯性大小的物理量。,SI单位：kg.m,例题5-4求质量为m，半径为R的均匀圆环对中心轴的转动惯量。,解:设质量线密度为,例题5-5求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。,取半径为r宽为dr的薄圆环,解:设质量面密度为,质点作圆周运动、圆筒,圆柱、滑轮等,例题5-6求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解:1）取A点为坐标原点。在距A点为x处取dm=dx。,2）取C点为坐标原点。在距C点为x处取dm。,2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡提到转动惯量必须指明它是对哪个轴的。,刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、转轴的位置三个因素共同决定;,3、平行轴定理：,若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体对该轴的转动惯量为J，则有：,例均匀圆盘对O轴的转动惯量。,5.2.3、对转轴的力矩,1、F在转动平面内,大小：MzFrsinFd,d=rsin称为力F对转轴的力臂。,Mz的方向平行于转轴，由右手螺旋定则确定。,2、F不在转轴平面内把F分解为三个分量Fz,Fr,Ft,Fr的力矩为零,Fz的力矩不为零，但不影响刚体的定轴转动，Ft的力矩沿轴向，它对角动量有贡献。,3、多个力作用于刚体各外力作用点各不相同，外力对转轴的合力矩,可证：刚体中内力对给定轴的力矩的矢量和为零，只需考虑外力矩的作用。,合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和。,5.2.4、定轴转动定律,，,由牛顿第二定律得:,其切向分量和法向分量方程分别为:,+,=,由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零，故只讨论切向方程。,令,则有：,上式便可写成,刚体的定轴转动定律,它表明：刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。,1、转动定律适用条件：刚体定轴转动。,2、M一定：作用不同刚体上，J大时，小，转速不宜改变，转动惯性大。反之，J小，转动惯性小。转动惯量是物体转动惯性大小的量度。,3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。应用时应注意以下问题：,当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用隔离法解题。对转动物体应用转动定律建立方程，对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。,力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。,选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、角速度的正负。,类比,的薄圆盘）,的定滑轮（视为半径为,例题5-7,一轻绳跨过一质量为,两物体，且,和,绳两端挂质量为,，绳与滑轮无相对滑动，,滑轮轴间摩擦阻力矩为,求物体的加速度和绳中的张力。,解：由牛顿第二定律和转动定律得,（4）,（5）,联立（1）,（2），（3），（4），(5)式可解得,例题5-8质量为m1、半径为R的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为m2的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m2的下落加速度a和滑轮转动的角加速度.,联合解得：,关联方程：,解对m1分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。,对m2分析受力。取向下为正方向。,由转动定律：,由牛顿运动定律：,例题5-9一刚体由长为l，质量为m的均匀细棒和质量为m的小球组成，且可绕O轴在竖直平面内转动，且轴处无摩擦。求:1）刚体绕轴O的转动惯量。2）若棒自水平静止开始运动到棒与竖直方向成角时,小球的角速度和法向加速度。,2）取逆时针转动为正方向，棒与竖直方向成角时，合外力矩:,解1）,分离变量积分得:,小球的法向加速度：,由转动定律:,解选取斜面为参考系，规定滑轮的转动方向为转动正向，沿斜面向上为重物运动的正方向隔离物体分析受力。,对重物应用牛顿第二定律，得,对滑轮应用转动定律，得,关联方程为：,例题5-10一恒力矩M作用于斜面顶点的滑轮上，滑轮的半径为r,质量为m1，质量为m2的重物通过一不可伸长的轻绳固定在轮的边缘，重物沿倾角为的斜面上升重物与斜面间的摩擦系数为。求：轮子由静止开始转过角后获得多大的角速度？,联立得：,由于为常量，故滑轮作匀变速转动则,一般刚体动能：,5.2.5、力矩的功和功率：,力矩功的表达式：,由功的定义式:,如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为,M为刚体所受合外力矩。,根据质点力学中功率的定义，力矩的功率可表示为,5.2.6、刚体定轴转动的动能定理：,由力矩的元功表达式得,定轴转动的动能定理积分形式,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。,定轴转动的动能定理微分形式,例题补充冲床的飞轮m=600kg,飞轮半径r=0.4m.正常速度为n1=240r/min,冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔冲头做的功。,解:冲孔前后的角速度分别表示为1和2,孔铁板阻力对冲头做功：,故冲头做功：,刚体质量全部集中于质心时，相对于零势点所具有的势能。,5.2.7、刚体的重力势能:,刚体的重力势能:,hc是刚体质心相对重力势能参考点的高度.,重力矩所做的功等于重力势能增量的负值。,5.2.8、刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律:,则有,刚体定轴转动功能原理的积分形式,统称为刚体的机械能,刚体定轴转动功能原理的微分形式,如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零,则,下摆。求:,例题5-11一长为l质量为m,的匀质细棒，如图所示，可绕图中,水平轴o在竖直面内旋转，若轴间光滑，今使棒从水平位置自由,解：（1）由定轴转动定律可得,在水平位置,在竖直位置,竖直位置棒的角速度为,，物体的质量为m,，物体与斜面间光滑，物,，斜面的倾角为,弹簧的劲度系数为k,解：选取定轴转动的滑轮、弹簧、物体和地球为系统，这时重力、弹性力均为系统内保守力，而其它外力和非保守内力均不做功，故系统的机械能守恒。,联立求得,5.3.1、刚体对定轴的角动量,当刚体作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时均以相同的角速度w绕该轴作圆周运动。设刚体上某一质元mi距轴的距离为ri,则其对该轴的角动量,其矢量式为,5.3.2、刚体的角动量原理,刚体定轴转动时，当转动惯量J不变时，转动定律可表示为,或,5.3.3、刚体的角动量守恒定律：,当作用于刚体上的合外力矩等于零时，刚体的角动量保持不变,1)定轴转动的刚体，若J=C，角动量守恒即刚体保持静止或匀角速转动。,2）若J不为恒量时，角动量守恒即：J=恒量。这时，刚体的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变,当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。,3）角动量守恒定律中的都是相对于同一转轴的,4）守恒条件：,例:,例题5-13如图所示，一质量为m的子弹以水平速度v0射穿静止悬于顶端的均质长棒的下端。子弹穿出后其速度损失了3/4，求子弹穿出后棒的角速度。已知棒的长度为l，质量为M。,解：取细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，系统受到的外力：重力和轴的作用力，它们对转轴的力矩为零。所以系统的角动量守恒，即,例题5-14如图所示，一长为2l，质量为M的均匀细棒，可绕中点的水平轴o在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m的小球以速度v0垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒转动的角速度各为多少？,解:以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受力，,则系统对轴o的角动量守恒,取垂直纸面向里为角动量L正向,根据弹性碰撞，机械能守恒。有,联立可解得,例题5-15一质量为M半径为R的水平转台（可看作匀质圆盘）可绕通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为m的人站在转台边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上边缘走一周时，人和转台相对地面各转过的角度是多少？,解:如图，对盘和人组成的系统，当人走动时系统所受到的对转轴的合外力矩为零，