山东省威海市2019届高三数学二模考试试题文（含解析）.docx

山东省威海市2019届高三数学二模考试试题 文（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据复数的乘除法求出复数的代数形式，然后再求出即可【详解】，故选C【点睛】本题考查复数的运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数的代数形式，属于基础题2.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数的单调性求出集合，解不等式得到集合，然后再求出即可得到答案【详解】由题意得，又，故选B【点睛】本题考查集合的交集，解题的关键是根据题意得到集合，属于基础题3.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的性质和绝对值的定义，分别求出不等式的解集，结合充分条件和必要条件的定义，即可求解【详解】由指数函数的性质，不等式，解得，又由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及指数函数的性质和绝对值的定义的应用，其中解答中熟记指数函数的性质和充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据三角函数的定义求出，然后再根据二倍角的余弦公式求出【详解】为角终边上一点，故选D【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基础知识的掌握情况和转化能力的运用，属于基础题5.若满足约束条件 则的最大值为( )A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】A【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由得，平移直线并结合的几何意义得到最优解，进而可得所求最大值【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示由得，所以表示直线在轴上截距的相反数平移直线，结合图形可得当直线经过可行域内的点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最大值由解得，所以，所以故选A【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力6.函数的图象可由的图象如何得到( )A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数的解析式为，在根据三角函数的图象变换，即可求解，得到答案详解】由题意，函数，所以把函数的图象向右平移个单位，得到函数，故选B【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式化简函数的解析式，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题7.已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点，为抛物线的焦点，若的面积等于，则双曲线的离心率为( )A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，利用三角形的面积得到，再由，即可求解双曲线的离心率，得到答案【详解】由抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，可得，又由的面积等于，抛物线的焦点，可得，整理得，又由，可得，即，所以双曲线的离心率为，故选C【点睛】本题主要考查了抛物线及双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线与双曲线的几何性质，合理利用题设条件求得的关系式是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8.已知圆上的点到直线的最短距离为，则的值为( )A. -2或2B. 2或C. -2或D. 或2【答案】D【解析】【分析】由圆的方程求得圆心坐标和半径，根据圆上的点到直线的最短距离为，得出，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径，设圆心到直线的距离为，则，因为圆上的点到直线的最短距离为，所以，即，解得或，故选D【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中把圆上的点到直线的最短距离转化为，再利用点到直线的距离公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题9.如图，网格纸上小正方形边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为( )A. 6B. 8C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出四棱锥的直观图，然后再结合四棱锥的特征并根据体积公式求出其体积即可【详解】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体中的四棱锥，其中在长方体中，点分别为的中点由题意得，所以可得，又，所以平面即线段即为四棱锥的高所以.故选B【点睛】本题考查三视图还原几何体和几何体体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，解题的关键是由三视图得到几何体的直观图，属于中档题10.已知函数的图象关于直线对称，则函数的值域为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象关于直线对称可得，由此可得，所以，再结合函数的单调性和定义域求得值域【详解】函数的图象关于直线对称，即，整理得恒成立，定义域为又，时，函数的值域为故选D【点睛】解答本题时注意两点：一是函函数的图象关于对称；二是求函数的值域时首先要考虑利用单调性求解本题考查转化及数形结合等方法的利用，属于中档题11.在中，向量 在上的投影的数量为，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量 在上的投影的数量为可得，由可得，于是可得，然后再根据余弦定理可求得的长度【详解】向量 在上的投影的数量为，由得，为的内角，在中，由余弦定理得，故选C【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和解三角形，解题的关键是根据题意逐步得到运用余弦定理时所需要的条件，考查转化和计算能力，属于中档题12.已知函数的定义域为，对任意的满足.当时，不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意构造函数，则，所以得到在上为增函数，又然后根据可得，于是，解三角不等式可得解集【详解】由题意构造函数，则，函数在上为增函数，又，不等式的解集为故选D【点睛】解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解，构造时要结合所求的结论进行分析、选择，然后根据所构造的函数的单调性求解本题考查函数和三角函数的综合，难度较大第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若向量与垂直，则_【答案】16.【解析】【分析】求得，根据向量与垂直，利用，列出方程，即可求解【详解】由题意，向量，可得，因为向量与垂直，所以，解得【点睛】本题主要考查了向量的垂直的条件和数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题14.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为_【答案】.【解析】【分析】列举出从中选取两个不同数字组成的全部两位数，数出能被3整除的两位数的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解【详解】从中选取两个不同的数字组成的所有两位数为： ，共计12个基本事件，其中能被3整除的有：，共有4个基本事件，所以这个两位数能被3整除的概率为【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，列举出基本事件的总数，再得出所有事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题15.直三棱柱中，设其外接球的球心为，已知三棱锥的体积为，则球表面积的最小值为_【答案】.【解析】【分析】设，由三棱锥的体积为可得然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值【详解】如图，在中，设，则分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心连，则为外接球的半径，设半径为三棱锥的体积为，即，在中，可得，当且仅当时等号成立，球表面积的最小值为故答案为：【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大16.“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为_【答案】10或64.【解析】【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出的所有可能的取值【详解】如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64所以正整数的值为10或64故答案为：10或64【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知是递增的等比数列，成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列满足，求数列的前项和.【答案】() .() .【解析】【分析】()由条件求出等比数列的首项和公比，然后可得通项公式()由题意得，再利用累加法得到，进而可求出【详解】()设等比数列的公比为，成等差数列，即，解得或（舍去）又，.()由条件及（）可得，又满足上式，【点睛】对于等比数列的计算问题，解题时可转化为基本量（首项和公比）的运算来求解利用累加法求数列的和时，注意项的下标的限制，即注意公式的使用条件考查计算能力和变换能力，属于中档题18.如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，与平面所成角的正切值为.()证明：平面；()若为上一点，且，试判断点的位置.【答案】(1)见解析.(2) 点是线段靠近点的三等分点.【解析】【分析】（1）由已知可证得，利用线面垂直的判定定理可证平面,又由，可求得，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）因为点在上，设，利用三棱锥的体积公式可求得，求得，即可得到点是线段靠近点的三等分点【详解】()证明：因为平面，所以又,所以平面,所以在中，又在中，所以.所以在中，,.又，所以在底面中，,平面,平面，所以平面.()因为点在上，设，所以，解得，所以点是线段靠近点的三等分点.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理应用锥体的体积公式是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题19.蔬菜批发市场销售某种蔬菜，在一个销售周期内，每售出1吨该蔬菜获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元.统计该蔬菜以往100个销售周期的市场需求量，绘制下图所示频率分布直方图.（）求的值，并求100个销售周期的平均市场需求量（以各组的区间中点值代表该组的数值）；（）若经销商在下个销售周期购进了190吨该蔬菜，设为该销售周期的利润（单位：元），为该销售周期的市场需求量（单位：吨）.求与的函数解析式，并估计销售的利润不少于86000元的概率.【答案】(1) ,181.4;(2) ;0.66.【解析】【分析】（1）根据频率和为1，求得，利用频率直方图中平均数的计算公式，求得平均值，即可得到结论（1）根据题意求得与的函数关系式，当时，求得，当，得到，即可求解销售的利润不少于的概率【详解】()由频率分布直方图中各个小长方形的面积和为1，可得，解得，()由题意可知，当；当，所以与的函数解析式为.设销售的利润不少于86000元的事件记为.当，当，所以，所以.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及频率分布直方图中概率的计算问题，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，合理列出与的函数关系式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题20.在直角坐标系中，设椭圆的左焦点为,短轴的两个端点分别为，且，点在上.()求椭圆的方程；()若直线与椭圆和圆分别相切于,两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.【答案】() .() .【解析】【分析】() 由，可得；由椭圆经过点，得，求出后可得椭圆的方程()将直线方程与椭圆方程联立消元后根据判别式为零可得，解方程可得切点坐标为，再根据直线和圆相切得到，然后根据在直角三角形中求出，进而得到，将代入后消去再用基本不等式可得当三角形面积最大时，于是可得，于是直线方程可求【详解】()由，可得，由椭圆经过点，得，由得，所以椭圆的方程为()由消去整理得（*），由直线与椭圆相切得，整理得，故方程（*）化为，即，解得，设，则，故，因此又直线与圆相切，可得所以， 所以，将式代入上式可得，由得，所以，当且仅当时等号成立，即时取得最大值 由，得，所以直线的方程为【点睛】解决解析几何问题的关键是将题中的信息坐标化，然后再利用一元二次方程根与系数的关系进行转化处理，逐步实现变量化一的目的由于解题中要涉及到大量的计算，所以要注意计算的合理性，通过“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解，考查转化和计算能力，属于难度较大的问题21.已知函数()证明：；()若直线为函数的切线，求的最小值.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解【详解】()证明：整理得令，当，所以在上单调递增；当，所以在上单调递减，所以，不等式得证.()，设切点为，则，函数在点处切线方程为，令，解得，所以，令，因为，所以，当，所以在上单调递减；当，所以在上单调递增，因为，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线与恰有一个公共点.()