椭球面、双曲面、抛物面_第1页
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文档简介

4.4椭球面,1.范围:|x|a,|y|b,|z|c.图形在x=a,y=b,z=c所围成的长方体内.,2.对称性:图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都是对称.,（直角坐标系下）,3.截痕,椭球面与三个坐标面的交线（称为主截线或主椭圆）：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面（）的交线为椭圆,同理与平面和的交线也是椭圆.,a,b,c,椭球面的两种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆绕轴旋转而成,球面,方程可写为,解由椭球面的轴与三坐标轴重合，可设其方程为,它与xOy面的交线是椭圆：,与已知椭圆重合，比较得,又因椭球面通过点,故,例已知椭球面,求过x轴且与椭球面的交线是圆的平面.,解设所求平面方程为,它与椭球面的交线是,如果交线是圆，则圆心是椭球面的对称中心(0,0,0)，且圆通过椭球面的顶点(a,0,0)，(-a,0,0)，故其方程为,它与椭球面的交线是,比较(1)与(2),得,因此,所求平面为,练习：习题4.43,4,5作业：习题4.42,1.单叶双曲面,(2)对称性:图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都对称.,(1)范围:,4.5双曲面,(3)截痕,用平面z=z0截曲面所得截痕为椭圆：,用平面y=y0截曲面所得截痕为：,这是一条双曲线（或两条直线）.,截痕,用平面x=x0截曲面所得截痕为：,这是一条双曲线（或两条直线）,2.双叶双曲面,(2)对称性:图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都对称.,(1)范围:,(3)截痕,例用一组平行平面z=h(h为任意参数)截割单叶双曲面,得一族椭圆,求这族椭圆焦点的轨迹.,解这族椭圆的方程为,练习：习题4.53,作业：习题4.52,4,5,练习已知abc0，讨论k的不同取值时方程的图像.,答案,k=a：空集,ckb：单叶双曲面,b0,则图形在xOy平面上方，否则在xOy平面下方.,(2)对称性:图形关于z轴、yOz平面、xOz平面对称.,4.6抛物面,1.椭圆抛物面,(3)截痕,用坐标面xOy(z=0)与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,坐标原点也叫椭圆抛物面的顶点.,不相交.,设,用平面去截,交线为椭圆.,用坐标面与曲面相截,截得抛物线,设,用平面去截,交线为抛物线.,用坐标面与曲面相截,均可得抛物线.,同理:当时可类似讨论.,设,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当时，方程变为,旋转抛物面,（由面上的抛物线绕z轴旋转而成）,(1)范围:x,y,zR,曲面可向各方向无限延伸.,(2)对称性:图形关于z轴、yOz平面、xOz平面对称.,2.双曲抛物面,（与同号）,(3)截痕,用平面z=z0(z00)截曲面所得截痕为双曲线,（与同号）,截痕,用平面x=x0与y=y0截曲面所得
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