工程数学概率 第三章(一)

第三章,随机变量的数字特征,一、数学期望,二、方差,三、协方差和相关系数,四、矩和协方差矩阵,机动目录上页下页返回结束,数学期望,第三章,第一讲,二、随机变量函数的数学期望,一、数学期望的概念,三、数学期望的性质,机动目录上页下页返回结束,一、数学期望的概念,引例：,某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：,求：一次游戏平均得多少钱？,解：,假设做了n次游戏，,每次平均得：,当n很大时，,机动目录上页下页返回结束,注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，,若级数,绝对收敛，,设离散型随机变量X的分布律为,简称期望或均值，记为E(X).,则称此级数的和为X的数学期望。,即,其与X取值顺序无关。,定义1,机动目录上页下页返回结束,例1,甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出,试问哪个人的射击水平较高？,解甲乙的平均环数可求得：,因此，甲的射击水平要比乙的好。,2、几种常用离散型分布的期望,(1)（01）分布,(2)二项分布,(3)泊松分布,设连续型随机变量X的概率密度为,为X的数学期望。,3、定义2,如果,绝对收敛，则称,简称期望或均值，记为E(X).,即,4、几种常用连续型分布的期望,(1)均匀分布,(2)指数分布,(3)正态分布,注：,1、并不是任何随机变量都存在期望。,（要满足绝对收敛的条件）,反例：,2、E(X)是一个常数，表示的是随机变量取值的平均，,与一般算术值不同，它是以概率为权的加权平均，,反映了随机变量取值集中在均值附近。,发散的,例2、,有5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个,指数分布，概率密度为,(1)若将这5个电子串联工作组成整机，求整机寿命N的数学期望。,(2)并联成整机，求整机寿命M的数学期望。,解：,(1),(2),例3.,某项任务完成所需时间T,该项任务若在100天之内完成则得奖金10000元，若,在100天至115天内完成，则得奖金1000元,115天,罚款5000,求完成任务获得的平均奖金数,解:,规定：,若超过,设Y是完成该任务所获奖金数，则,Y的可能取值为10000,1000,-5000,从而Y的分布律为,0.5,10000,0.0013,-5000,0.4987,1000,已求出:,二、随机变量函数的数学期望,那么应该如何计算呢？,设已知随机变量X的分布，,我们需要计算的不是X,的期望，,而是X的某个函数g(X)的期望.,按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,一种方法：,因为g(X)也是随机变量，,故应有概率分布，,g(X)的分布可以由已知的X的分布求出来.,知道了g(X)的分布，,机动目录上页下页返回结束,解:,已知X的分布律为,求的数学期望。,Eg:,机动目录上页下页返回结束,定理1设,(g为连续函数),设X为离散型随机变量，其分布律为,若级数,绝对收敛,则g(X)的数学期望为,设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则g(X)的数学期望为,机动目录上页下页返回结束,这给求随机变量函数的期望带来很大方便。,该公式的重要性在于:,知道g(X)的分布，,而只需知道X的分布就可以了。,当我们求Eg(X)时,不必,机动目录上页下页返回结束,设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为,则Z的数学期望为,设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),则Z的数学期望为,绝对收敛,机动目录上页下页返回结束,解：,例2.,设某公共汽车站于每小时的10分,50分发车,乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求,乘客到达车站等车时间的数学期望。,设T为乘客到达车站的时刻(分)，,设Y为乘客等车时间，则,解:,则,其概率密度为,已知,机动目录上页下页返回结束,解,同理,机动目录上页下页返回结束,1.设C是常数，则E(C)=C;,2.若C是常数，则E(CX)=CE(X);,3.,三、数学期望的性质,证明:设,4.设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);,证明:设,（当Xi独立时）,注意:该性质不是充要条件。,推广：,例1、,任意掷5颗骰子，X5颗骰子出现的点数之和,求E(X).,解：,例2、二项分布,解：,则,而,，则,所以,，求E(X)。,X表示n重伯努利试验中成功的次数.,注意：分割随机变量的原则。,例3、,将n封不同的信，随机放入n个写好地址的信封，,用X表示装对信件的个数，求EX。,解：,则,0,1,解：设,则,注:,不是相互独立的。,机动目录上页下页返回结束,作业,机动目录上页下页返回结束,方差,第三章,第二讲,三、方差的性质,一、方差的定义,二、几种重要分布的方差,例如:甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，,哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,其落点距目标的位置如图，,又如:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下：,甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59,乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60,哪个合唱队演出效果好？,一、方差的定义,方差的算术平方根,为X的方差。记为D(X)或Var(X)。,定义设X是一个随机变量，若,则称,称为均方差或标准差。,存在，,记为,注：,方差实际上就是X的函数g(X)=X-E(X)2的期望。,方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。,常用计算公式：,证明：,推论：,常用计算公式：,（柯西施瓦兹不等式）,机动目录上页下页返回结束,解：,1（0-1）分布参数为p,二、几种常见分布的方差,2二项分布,3泊松分布,4均匀分布,机动目录上页下页返回结束,指数分布,正态分布,注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学,期望和方差所决定。,特别，当,机动目录上页下页返回结束,解由题意可知,1.设C是常数,则D(C)=0;,2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);,3.若X与Y独立，则,三、方差的性质,证,注：,这条性质同样不是一个充要条件。,推广若X1,X2,Xn相互独立,则,4、D(X)=0,例3、已知Xb(n,p)，求D(X)。,则,所以,解：,，则,=np(1-p).,注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。,解设X的分布律为,所以,机动目录上页下页返回结束,解Z为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正,态分布，且其参数为,故,ZN(-7,5),机动目录上页下页返回结束,协方差和相关系数,第三章,第三讲,一、协方差和相关系数的定义,二、协方差的性质,三、相关系数的性质,1、定义设二维随机变量,则称它为X与Y的协方差，,即,称,为随机变量X与Y的相关系数。,若,存在，,一、协方差和相关系数的定义,机动目录上页下页返回结束,记为,机动目录上页下页返回结束,2、常用计算公式,证:,机动目录上页下页返回结束,1、,为常数,3、,2、,二、协方差的性质,证：,机动目录上页下页返回结束,三、相关系数的性质,1),2),的充要条件是X与Y以概率1成线性关系,即,定理1设随机变量X和Y,的相关系数存在，则,机动目录上页下页返回结束,说明：,，X与Y的线性关系越显著；,，X与Y的线性关系越不显著；,2）,3）,4）,定义、相关系数,下列命题等价：,1）,独立,不相关,注：,例：,XN(0,1),证明X与Y不相关。,证：,=0,X与Y不相关。,但是，显然，X与Y不是相互独立的。,不相关：X与Y之间没有线性关系，并不表示它们之,间没有任何关系。,独立：X与Y之间没有任何关系。,机动目录上页下页返回结束,解先求关于X和Y的边缘概率密度,机动目录上页下页返回结束,因为,所以X和Y不相互独立。,求X和Y的相关系数,机动目录上页下页返回结束,所以,故X和Y不相关。,=0.,解,例3,将一枚硬币重复掷n次，以分别表示,正面向上和反面向上的次数，求,的相关系数。,解:,满足,故,Cov(X,Z)=2,D(X)=4,D(Z)=