信号与系统第二章3-(2)ppt课件

.,第三章傅里叶变换,前面讨论了连续时间系统的时域分析，以冲激函数为基本信号。任意输入信号可分解为一系列的冲激函数，而系统的响应（零状态响应）是输入信号与系统冲激响应的卷积。,3.1引言,本章开始由时域转入频域分析，任意信号可表示为一系列不同频率正弦函数的线性组合。对系统分析时，若已知单频正弦信号激励下的响应，利用叠加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。,.,在满足狄里赫利条件时，可展开为：,3.2周期信号的傅里叶级数分析,一、三角函数形式的傅里叶级数,是傅里叶系数。,即,周期信号，周期为，角频率为,.,直流分量:,余弦分量的幅度:,正弦分量的幅度:,或都是（或）的函数。其中，是（或）的偶函数;是（或）的奇函数。,取为或,.,狄里赫利（Dirichlet）条件：,在一周期内，信号应绝对可积，即：,在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。,在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。,为周期,通常遇到的周期信号都能满足以上条件，因此后面不再进行特别说明。,.,如图：信号的周期为8。它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半，依次递推下去。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个，不满足条件1。,.,不满足条件2的一个信号：,对此函数，其周期为1，有：,.,周期信号，周期为1。,不满足条件3的一个信号：,.,余弦形式,将同频率项合并，可以得到另一种表示形式：,或,正弦形式,.,任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解成直流分量和许多的正弦、余弦分量，正弦、余弦分量的频率必定是基频（）的整数倍。,频率为的分量称为基波，频率为，的分量分别称为二次谐波、三次谐波。,直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。,.,例3-2-1:求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。,傅里叶级数展开式为：,解：,直流,基波,谐波,.,也都是（或）的函数。这样，把与之间的关系用图形表示出来，称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱；而与之间的关系曲线就称为相位频谱，简称为相位谱。,幅度谱,相位谱,.,幅度谱和相位谱都是由若干条线组成的线图。在幅度谱中，线的长短代表了某一频率分量的幅度大小，称为谱线，连接各谱线顶点的虚线就称为包络线，反映了各分量的幅度变化情况。,谱线只出现在等离散频率点上，因此是离散谱。,离散谱,谱线,包络线,谱线,.,二、指数形式的傅里叶级数,三角函数形式的傅里叶级数含义明确，但运算不太方便，此时可采用指数形式的傅里叶级数。,根据欧拉公式，有：,代入,可得：,.,令,令,周期信号可分解为区间上的复指数信号的线性组合。,.,系数,可知：均为复数，可表示为：,则,的偶函数,的奇函数,.,关系曲线称为复数幅度谱,关系曲线称为复数相位谱,双边幅度谱,双边相位谱,.,双边幅度谱,单边幅度谱,双边幅度谱中，每个分量的幅度一分为二，在正、负频率相对应的位置上各为一半。只有把正、负频率上对应的这两条谱线矢量相加起来，才代表一个频率分量的实际幅度。,双边谱中出现的负频率项完全是数学运算的结果，没有任何物理意义。,是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对、，才能保证实函数的性质不变。,.,为实数时，可用的正负表示的。幅度谱与相位谱可合画在一张图上。,.,周期信号频谱的特点,离散性：频谱是离散的而不是连续的。,谐波性：谱线出现在基波频率的整数倍上。,收敛性：幅度谱的谱线幅度随着而逐渐衰减到零。,周期单位冲激序列的频谱不满足收敛性。,.,狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。,满足离散性、谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。,周期单位冲激序列,.,绘制频谱图时应注意：,2.画单边谱时，应将级数统一用余弦函数来表示。,3.由于表示振幅，故。,4.当是实信号时，双边幅度谱是的偶函数，双边相位谱是的奇函数。,5.谱线只在基波的整数倍处出现。,.,画出其幅度谱和相位谱。,解：化为余弦形式,单边谱,三角函数形式傅里叶级数的系数：,例3-2-2：,.,合并整理,指数形式傅里叶级数的系数：,化为指数形式：,.,双边谱,.,例3-2-3：已知周期信号的单边频谱，请写出该信号的时域表达式，并画出其双边频谱。,解：,双边谱,.,周期信号的平均功率,周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和，即时域和频域的能量是守恒的。,帕塞瓦尔定理,.,三、函数的对称性与傅里叶系数的关系,若周期信号具有某种对称性，则其傅里叶级数展开式中某些项的傅里叶系数将为零，级数展开式将大为简化。,偶函数,波形对称于纵坐标轴，即,此时为偶函数，而为奇函数。,傅里叶级数中无正弦项，只可能含有直流项和余弦项。,.,奇函数,波形反对称于纵坐标轴，即,此时为奇函数，而为偶函数。,傅里叶级数中只有正弦项,.,前半周期波形移动半个周期后，与后半周期波形对称于横轴。（半波对称函数）,奇谐函数,其傅里叶级数展开式中只含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量，即,.,前半周期波形移动半个周期后，与后半周期波形重合。,偶谐函数,其傅里叶级数展开式中只含偶次谐波分量，不含奇次谐波分量，即,.,可