第十一章 压杆稳定问题

Page,1,组合变形强度计算步骤：,外载分解(解耦为基本变形)、内力计算(内力图危险截面)、各基本变形应力分析、强度计算(应力叠加危险点),上一讲回顾,1.弯拉（压）组合,2.弯扭组合(圆轴),3.弯拉扭组合,Page,2,11-1引言11-2两端铰支细长压杆的临界载荷11-3两端非铰支细长压杆的临界载荷11-4中小柔度杆的临界应力11-5压杆稳定条件与合理设计,第十一章压杆稳定问题,Page,3,本章主要研究：,压杆稳定概念压杆临界载荷的确定压杆稳定条件与合理设计,Page,4,1.问题的提出,11-1引言,结论：对于细长压杆，必须研究稳定问题,Page,5,Tacoma海峡大桥弱不经风（1940年破坏）,Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）,2.稳定问题的研究历史与工程实例,科学理论的重要性；社会生产实践推动科学理论研究,Page,6,老Tacoma海峡大桥,新Tacoma海峡大桥,考虑与未考虑稳定问题的设计对比,未考虑稳定问题,考虑了稳定问题,Page,7,3.各种各样的失稳现象,Page,8,窄高梁弯曲,薄壁件受外压,薄壁圆筒轴向受压,3.各种各样的失稳现象（续1）,Page,9,左侧为风速低于颤振速度，结构振动稳定；右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。,风洞颤振试验照片,3.各种各样的失稳现象（续2）,Page,10,航空科学的重要课题：飞机颤振问题研究,3.各种各样的失稳现象（续3）,Page,11,4.平衡的稳定性刚体,（1）刚性面上的刚性球,a.合力FR指向平衡位置,稳定平衡,b.FR为0,c.FR偏离平衡位置,不稳定平衡,临界(随遇)平衡,Page,12,5.平衡的稳定性刚杆弹簧系统,稳定平衡,临界(随遇)平衡,不稳定平衡,临界载荷,刚杆弹簧系统稳定性演示,Page,13,6.平衡的稳定性受压弹性细长杆,FFcr不稳定平衡,压杆在任意微弯位置均可保持平衡,临界载荷Fcr:压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时的轴向压力值。,压杆失稳：当轴向压力达到某一值时，压杆直线形式的平衡突然改变（破坏）的现象。,Page,14,11-2两端铰支细长压杆的临界载荷,两端铰支压杆临界载荷实验测定,两端铰支压杆失稳动画演示,Page,15,一、简化模型：刚杆-扭簧系统，弹簧常数k*,1.模型一个实际背景：下肢。,举重运动员为何可能腿晃？,Page,16,2.刚杆-扭簧系统分析，弹簧常数k*,研究临界平衡状态，画BC段受力图,驱动力矩（小变形）：,恢复力矩：,由平衡条件：,存在非零解条件：,平凡解，不稳定平衡位置,弹性压杆：,连续直线分布的扭簧系统,Page,17,二、临界载荷的欧拉公式,两端受压简支杆,临界平衡状态,驱动与恢复内力矩,驱动力矩,恢复内力矩,Page,18,压杆稳定微分方程,通解：,位移边界条件：,存在非零解的条件：,Page,19,设：n=1,临界载荷欧拉公式,注意到：,Page,20,三、两端简支压杆临界载荷的欧拉公式的几点讨论,1.欧拉公式的适用范围,Q压力沿杆件轴线,Q小挠度(小变形),Q线弹性,Q理想均质材料,细长杆,Page,21,3.临界载荷与压杆几何与材料性质的关系,压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡。,2.临界平衡挠曲轴曲线特征,可有任意的微弯程度,但轴线形状一定,临界载荷与截面抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。,F,F,x,w,Page,22,问题：结构在哪个平面内失稳？,解：临界载荷,四、例：球形铰，确定图示压杆的临界载荷(hb),压杆在x-z平面内失稳,Page,23,11-3两端非铰支细长压杆的临界载荷,解析法与类比法确定临界载荷：固支-自由压杆铰支-固支压杆固支-固支压杆欧拉公式的统一表达式：相当长度与长度因数例题,Page,24,一、解析法与类比法确定临界载荷,（1）解析法：根据微弯临界平衡状态建立微分方程,令,1.固支-自由压杆,Page,25,通解：,考虑位移边界条件：,存在非零解的条件：,Page,26,取n=1,得固支-自由压杆的临界载荷：,存在非零解的条件：,注意到：,得：,Page,27,（2）类比法,观察：受力与变形与两端铰支压杆左半部分相同,类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于长2l的对应铰支压杆的临界载荷。,与解析法结果相同,Page,28,2.一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷,通解：,（1）解析法：根据微弯临界平衡状态建立微分方程,Page,29,通解：,考虑位移边界条件：,如何建立求临界载荷的数学方程？,Page,30,A,B,FR存在非零解的条件：,Page,31,思考讨论题：力学模型（有条件的随遇平衡）、数学方程（微分方程）、有条件的随遇平衡的数学表达（齐次方程的非零解）之间的对应关系。,Page,32,（2）.类比法,变形曲线观察：与B端相距约0.7l处有一拐点C,类比：拐点C处弯矩为零，将C点坐标转动到变形前位置，BC段类比铰支压杆。,Page,33,3.两端固支压杆：类比法,（1）根据对称性，AB中点C可视为固定端,（2）根据AC与CB的反对称性，两段中点D、E为拐点,（3）根据对称性，DE段可类比为两端铰支杆,（4）临界载荷：,分析关键：寻找与两端铰支杆受力相同的杆段,Page,34,二、欧拉公式的统一表达式：,ml相当长度：相当的两端铰支压杆的长度,m长度因数:支持方式对临界载荷的影响,欧拉公式可以写成统一形式：,Page,35,习题10-3：AB刚性杆，BC弹性梁，弯曲刚度EI，求Fcr,解：考虑梁杆结构的临界平衡，B为刚性接头，在B处,由杆，B处内力偶,由梁，B处转角,Page,36,讨论下面两力学问题的相似处,左图：,右图：,结论：梁段BC相当于弹簧常数为k=3EI/l的碟形弹簧,Page,37,作业2版：10-2，4，5，83版：11-2，4，5，8,Page,38,上一讲回顾,1弹性平衡稳定性的概念受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。,2压杆的临界载荷使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳定的轴向压力值。,3、两端铰支细长压杆稳定微分方程,4、两端铰支细长压杆的临界载荷,Page,39,5、欧拉公式的统一表达式：,ml相当长度：相当的两端铰支压杆的长度,m长度因数:支持方式对临界载荷的影响,Page,40,11-4中、小柔度杆的临界应力,问题：欧拉公式适用范围？研究欧拉公式适用范围，从何入手？如何处理欧拉公式适用范围之外的压杆失效？,欧拉公式一般表达式,欧拉公式适用范围,Page,41,一、临界应力与柔度,临界应力,定义,截面的惯性半径，只与截面形状相关,压杆的柔度或长细比，无量纲量,欧拉公式可以写成,综合反映了压杆长度l，支撑方式与截面几何性质i对临界应力的影响。,Page,42,二、Euler公式的适用范围,令,p的压杆，称为大柔度杆,p：材料常数，仅与材料弹性模量E及比例极限p有关,Page,43,三、临界应力的经验公式,（I）直线型经验公式(合金钢、铝合金、铸铁与松木等),式中a,b为材料常数，单位MPa,可查表。,临界应力不能小于材料的极限应力scu，令:,p，大柔度杆；l0lmy，设计IzIy;等稳定设计：,Page,59,例6：大柔度立柱，刚性板，失稳时结构如何运动？,可能的失稳形式,实际发生的失稳形式,Page,60,2.合理选择材料：,大柔度压杆：E较高的材料，scr也高，各种钢材（或各种铝合金）的E基本相同,依据：欧拉公式,中柔度压杆：强度较高的材料，scr也高小柔度压杆：按强度要求选择材料,高强度钢一般不提高E，从而不提高结构稳定性钢与合金钢:E=200220GPa铝合金:E=7072GPa,Page,61,3.合理安排压杆约束与杆长:,依据：欧拉公式,Page,62,4.稳定性是整体量，可以不计局部削弱，局部加强也收效甚微,课后讨论题,试比较梁的合理强度设计、合理刚度设计、压杆的合理稳定性设计。合理设计依据，三者的共同或相似处，三者的不同处。,Page,63,例：梁,，长l=2m,截面正方形，边长b=150mm，,经验公式,，,，两端铰支，求许可载荷,。,柱AB截面圆形、直径d=36mm,长l=0.8m,lp=99.3,l0=57，,求解思路：对梁AB进行强度分析，对压杆CD进行稳定性分析，取两许可载荷较小者。,Page,64,解：(1)对梁的强度分析,(2)对柱AD的稳定性分析,对柱采用中柔度杆公式计算,Page,65,(2)对柱采用中柔度杆公式计算,注意：对压杆，必须先判断是大柔度、中柔度、还是小柔度杆，才能选用合适的公式计算。,Page,66,四、大挠度理论与实际压杆,1.简化模型：刚杆-扭簧系统，弹簧常数k*,恢复力矩：,由平衡条件：,驱动力矩（大变形）：,Page,67,实际临界载荷不是随遇平衡小变形理论给出合理简化,简化模型小挠度理论,简化模型大挠度理论,Page,68,2.大挠度理论与实际压杆,精确压杆稳定微分方程,（求解大挠度问题）,理想压杆小挠度理论与大挠度理论及实验结果比较,大挠度理论,小挠度理论,实验结果,由大挠度理论，F=1.015Fcr,wmax=0.11l.,比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。,Page,69,例1：试用类比法求临界载荷,解（1）失稳曲线特征分析：,（2）类比方式,两端转角为零，A端允许水平位移，B端允许垂直水平位移。,类比长为2l的两端固支杆。,类比法的应用,Page,70,例1：试用类比法求临界载荷,（2）类比方式,类比长为2l的两端固支杆。,（3）关键,寻找与已知失稳载荷的杆中受力相同的杆段。,（4）思考,类比为长l、一段固定、一端自由杆。,Page,71,作业2版：10-13,14,153版：11-13,14,15,Page,72,一、临界应力总图,上一讲回顾,Page,73,二、压杆稳定条件,三、压杆的合理设计,依据：欧拉公式,经验公式,临界应力总图,1.合理截面形状：,2.合理选择材料：,3.合理安排压杆约束与杆长:,4.稳定性是整体量，可以不计局部削弱与局部加强。,Page,74,一、显现与潜在失稳形态,两个稳定问题讨论,二、高速水流管道失稳,Page,75,两个稳定问题讨论之一,一、显现与潜在失稳形态,2007年06月14日广州黄埔大桥脚手架坍塌,Page,76,例：下列结构OA，BC为大柔度杆，AB为刚性杆。求失稳临界载荷。,Page,77,（1）分析:弹性杆-弹簧系统有两种失稳形式：a.弹簧变形，杆保持直线偏转失稳；b.弹簧变形，杆弯曲失稳。,实际发生潜在失稳形式。,在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩平衡。,解：（a）设微干扰后杆OA保持直线偏转失稳。,Page,78,解：（b）弹簧不变形，杆弯曲失稳。,较小临界载荷所对应的失稳形式是结构实际失稳形式。,杆OA相当于两端铰支杆,Page,79,（2）分析：,悬臂梁BC相当于一弹簧，为了求当量弹簧常数k*，设刚性杆AB上作用一水平力F*，则悬臂梁BC水平位移d为,当量弹簧常数,（2）解：（a）设微干扰后，OA杆保持直线偏转失稳。,类比（1）的解法：,Page,80,（a）,（2）解：,（b）设微干扰后，OA杆弯曲失稳。,对比杆（1）,结构（2）失稳临界载荷,Page,81,进一步讨论：根据欧拉公式，大柔度压杆,当n1时，上述解答有无实际意义？,把握潜在失稳形式的重要性,Page,82,高阶解的意义：,展示高阶解的小实验：1，2，3个半波的波形失稳,Page,83,高阶解的讨论与工程应用,增加在失稳过程中一直不受力的相应零力约束，能使临界载荷提高n2倍。,南京电视台脚手架失稳,不同学科问题对比：化学催化剂,自身不参加反应，提高反应速度,工程应用：脚手架，加中间约束,Page,84,反映不同运动形式内在联系的稳定系列实验,从“不识庐山真面目，只缘身在此山中”,到“会当凌绝顶，一览众山小。”,右图：随质量块振动频率变化，系统或左右摇摆，或上下振动,上图：随流速变化从层流到湍流的转捩实验,Page,85,一、观察与思考,两个稳定问题讨论之二,握高压水枪的手为什么会颤抖？洗衣机排水管为什么会在地面摆动？,Page,86,例：流体截面积A，密度r，管弯曲刚度EI，求临界流速vcr,解：管微弯后，流体动反力为,此动反力引起（驱动）弯矩,其中rc(x)为曲率半径,高速水流管道失稳问题,Page,87,例：流体截面积A，密度r，管弯曲刚度EI，求临界流速vcr,曲率表示的弯曲变形公式建立了弹性恢复力矩与曲率的关系,又：,或,Page,88,方程的通解,对于四阶微分方程要考虑位移与力的边界条件，铰支端力的边界条件可表示为,Page,89,问题边界条件可写为,代入方程的通解,得,Page,90,组合变形实验应力分析（参考16章）,一、应变片及其转换原理,敏感栅的电阻变化率与正应变成正比,应变片,应变灵敏度,Page,91,二、电桥测量原理,1.全桥读数应变,电阻应变仪,Page,92,2.半桥读数应变与温度补偿,R3和R4，内部相同的固定电阻。,最好能在桥路中自补偿；否则，要用绝对不受力的温度补偿片。R1和R2都是工作片,R1，工作片。,R2，补偿片。,温度补偿问题,Page,93,3.半桥测量例,a.工作片贴1，补偿片贴不受力件,b.1和2两工作片,不需补偿片，灵敏度提高一倍。,Page,94,三、组合变形实验方案设计与测量,1.弯扭组合轴E，d，试由四个应变片测量M，T。设计布片方案和桥路，写出计算公式。,例：方案1.全桥测M,扭转切应力不对应变片发生影响,方案评价：可测弯矩，不能测扭矩，测弯矩灵敏度为贴单片时的4倍。,Page,95,方案2.半桥测T、M,方案评价：只利用了两应变片，灵敏度为贴单片的两倍。,(1)由应变片a、b测M,Page,96,(2).半桥测T,c、d两点应变包括了弯曲应变eM和扭转应变eT,Page,97,方案3.全桥测T、M,此桥路消除M的影响,方案评价：充分利用4应变片，灵敏度提高4倍。,思考：如果存在轴力，此一布片方案和桥路如何测T。,(1)测T,Page,98,方案3.全桥测M,方案评价：自行补充。,(2)测M,Page,99,2、图示两端开口的薄壁圆筒，内压p，扭力偶矩T，圆筒内径d，壁厚t，材料的弹性模量E和泊松比。测p和T,建立压力p、扭力偶矩T与所测正应变之间的关系。哪种方案合理?(1)轴向和环向，测出e0和e90。（2）与轴线成45o角方向，测出e45和e-45。，,解:(1)轴向与环向应力,方案(1)贴片不能测切应力，也就不能测扭矩，故不合理。,Page,100,解:(2)与轴成45o方向应力,由广义胡克定律：,Page,101,主应力方向未知时，须由三独立量才能确定一点应力状态。,四、应变花,Page,102,例用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,解：1.首先计算切应变,Page,103,2.计算最大正应变,例用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,Page,104,例：薄壁筒内径D、厚