高等数学-第9章 - (偏导数 全微分)

.,高等数学,.,课程相关,教材及相关辅导用书高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社2010.8.高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编高等教育出版社,2014.8.,.,第九章多元函数微分学9.1多元函数的基本概念9.2偏导数9.3全微分9.4多元复合函数的求导法则9.5隐函数的求导公式9.6多元函数微分学的几何应用9.7方向导数与梯度9.8多元函数的极值9.9综合例题,.,9.2偏导数1.偏导数的概念及计算方法2.高阶偏导数9.3全微分1.全微分的概念及计算方法2.全微分在近似计算中的应用,.,一元函数的导数表示函数的变化率，对于多元函数同样需要讨论函数的变化率，我们常常需要研究某个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情况下，只随一种因素变化的变化率问题。,反映在数学上就是所谓的偏导数问题，现以二元函数为例，引入偏导数的概念。,.,一、偏导数的定义与计算方法,1.偏导数的概念,(1)f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数,.,例如，极限(1)可以表示为,.,.,（2）偏导函数,.,(3)偏导数概念可推广到二元以上的函数,说明,.,解,2偏导数的计算,仍然是一元函数的求导公式和求导法则，对某一个自变量求偏导时，其余的自变量看作常量。,.,证明,原结论成立,.,(2)求fx(x0，y0)时，可先将y0代入得,最后再将x0代入.,例4,解,说明,.,例5,解,(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,.,按定义可知：,.,3.偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在连续.,一元函数中在某点可导连续，,多元函数中在某点偏导数存在连续，,.,如图,.,纯偏导,混合偏导,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,三、高阶偏导数,.,解,例6,.,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,问题：,混合偏导数都相等吗？,.,解,.,例8证明函数,其中,满足方程,证明,.,由于函数关于自变量的对称性，所以,因此,因此函数,满足方程,.,9.3全微分,一、全微分的定义二、可微的必要和充分条件三、全微分在近似计算中的应用四、小结,.,如图，,一边长分别为x、y的长方形金属薄片，,受热后在长和宽两个方向上都发生变化，分别为x、y，那么,该金属薄片的面积A改变了多少？,A称为面积函数A=xy的全增量，,由两部分组成：,x，y的线性部分,当(x,y)(0,0)时，是一个比,高阶无穷小。,.,定义设函数在点(x，y)的某个邻域内有定义，点（x+x，y+y）在该邻域内，如果函数在点（x，y）的全增量,可以表示为,其中A，B与x,y无关，,是当,0时比高阶的无穷小。,则称函数在点,（x，y）处可微，,称函数在点(x,y),处的全微分，记作dz或df(x,y)，即,显然，dzz,一、全微分,.,二可微的必要和充分条件,定理（可微的必要条件）,如果函数在点（x，y）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且,证明：,由函数在点（x，y）处可微有,所以,即,.,因此，函数在点（x，y）连续。,又因为中的A，B与,x，y无关，也就是该式对任意的x，y都成立。,不妨取y=0，则有,上式两边同除以x，再令x0，则有,即说明存在，且,故有,.,注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数在点（x，y）可微。,讨论函数：,由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。,定理（可微的充分条件）,如果函数的两个偏导数在点（x，y）都存在且连续，则该函数在该点可微。,.,以上有关概念和定理均可以推广到三元及三元以上的函数中去。,由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元函数的全微分习惯上可写为,类似地，三元函数的全微分为,.,例1求函数的全微分。,解：先求函数的两个偏导数：,所以,.,例2求函数在点（2，-1）处的全微分。,解：因为,所以,.,例3设函数在点（0，0）有增量x=0.2，y=0.3，求全微分dz。,解：,所以,此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量x=0.2，y=0.3时，函数也产生增量z，并且zdz=1.8。,.,.,取,则,所以,例5计算的近似值。,解：,构造函数，则,.,.,设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20厘米变到20.1厘米，高由原来的40厘米减少到39.5厘米，求该金属体体积变化的近似值。,解：,设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V，则有,此时,