信号与系统的分析方法有时域-变换域两种ppt课件

.,第二章Z变换,.,2-1引言,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程的求解。,.,二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。,.,2-2Z变换的定义及收敛域,一.Z变换定义：序列的Z变换定义如下：,*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。,.,二.收敛域1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.,2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,.,3.一些序列的收敛域(1).预备知识阿贝尔定理:如果级数，在收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。,.,同样,对于级数，满足的z，级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。,.,(2).有限长序列,.,.,3.右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,.,收敛域,第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成Z的正幂级数。,.,例2-6试用长除法求的z反变换。,解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列),*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。,.,.,.,.,.,.,2-4Z变换的基本性质和定理如果则有：,*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。,1.线性,.,例2-7已知,求其z变换。,解：,.,2.序列的移位,如果则有：,例2-8求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,.,3.Z域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,.,4.序列的线性加权(Z域求导数),如果,，则,证明：,.,5.共轭序列,如果,，则,证明：,.,6.翻褶序列,如果,，则,证明：,.,7.初值定理,证明：,.,8.终值定理,证明：,.,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。,.,9.有限项累加特性,证明：,.,.,10.序列的卷积和(时域卷积定理),.,证明：,.,例2-9,解：,.,11.序列相乘(Z域卷积定理),其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）,.,例2-10,解：,.,.,12.帕塞瓦定理(parseval),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）,如果,则有:,.,*几点说明：,.,2-5Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系,一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号，为其理想抽样信号，则,.,序列x(n)的z变换为，考虑到,显然，当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。,.,2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于所以有：,因此，;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对应。,.,=0,即S平面的虚轴r=1,即Z平面单位圆；,1,即Z的单位圆外。,(1).r与的关系,.,=0，S平面的实轴，=0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线，=0T,Z:始于原点的射线；S:宽的水平条带，整个z平面.,0,jImZ,ReZ,(2).与的关系（=T）,.,二.Z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，且。,.,所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。,.,三.序列的傅氏变换,1.正变换:,2.反变换:,.,2-6傅氏变换的一些对称性质,一、共轭对称序列与共轭反对称序列1.共轭对称序列设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列其中分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。,.,2.共轭反对称序列设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。同样有：,根据定义，则,这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。,.,二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,.,.,三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和,其中，,.,四、两个基本性质,证明：,.,证明：,.,五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系,1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部,证明：,.,2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部,证明：,.,六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系,1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部,证明：,.,2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j。,证明：,.,七、序列为实序列的情况,.,.,.,8.实序列也有如下性质：,.,线性移不变系统h(n)为单位抽样响应,H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。,2-7离散系统的系统函数及频率响应,一.系统函数:,.,我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)|，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。,二.因果稳定系统,.,三.系统函数和差分方程的关系,线性移不变系统常用差分方程表示：,取z变换得：,对上式因式分解，令,得：,.,四.系统的频率响应的意义系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换称作系统频率响应。,也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。,对于线性移不变系统：,.,五.频率响应的几何确定,1.频响的零极点表达式,.,模：,相角：,.,2.几点说明(1).表示原点处零极点，它到单位圆的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只是给出线性相移分量(N-M)。(2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响，当零点位于单位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。(3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度有明显影响。极点在圆外，系统不稳定。,.,零点在单位圆上0,处；极点在,处。,。,。,.,例2-14设一阶系统的差分方程为:,解:对差分方程两边取Z变换:,，a为实数,求系统的频率响应。,.,这是一因果系统，其单位抽样响应为而频