蔡中兵《材料力学》4弯曲应力

4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图,一、弯曲的概念,第四章弯曲应力,受力特点：外力垂直于杆件的轴线。,变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线,以弯曲变形为主的杆件梁,称为横向力,梁的截面对称轴与轴线构成的平面,纵对称平面：,若梁上的外荷载都作用在此对称平面内，则梁弯曲变形后的轴线为纵对称平面内的平面曲线。,这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。,发生对称弯曲的条件：,截面具有纵对称平面；,外力作用于纵对称平面内。,材料力学主要研究对称弯曲的情形。,对称弯曲的概念,二、梁的计算简图,梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式,1、固定端,限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。,（一）、梁的支座分类,3个约束,2、固定铰支座,限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。,2个约束,3、活动铰支座,使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。,1个约束,1、集中荷载,2、分布荷载,3、集中力偶,特例：均布荷载，线性分布荷载，如水对坝的压力,集中荷载,分布荷载,集中力偶,（二）、梁的荷载分类,沿轴向连续分布在杆件上的荷载，常用q表示单位长度上的荷载,称为荷载集度.如风力,水力,重力.,荷载的作用范围远小于杆件轴向尺寸。,（三）、几种静定梁的基本形式,利用平衡方程可确定全部支反力的梁，称为静定梁.,1、简支梁一端为固定铰支座一端为活动铰支座。,2、外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁。,3、悬臂梁一端固定支座一端自由。,仅利用平衡方程不能确定全部支反力的梁，称为超静定梁.,梁在两支座间的部分，称之为跨。,跨的长度称之为跨长。,一、内力计算,举例已知如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力.,解:求支座反力,4-2梁的剪力和弯矩,求内力截面法,1.弯矩(Bendingmoment)M构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.,2.剪力(Shearforce)FS构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.,1.剪力符号,使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.,二、内力的符号规定,使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.,当dx微段的弯曲上凹下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；,2.弯矩符号,当dx微段的弯曲上凸下凹（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.,例:已知:P、M=Pl、l求：横截面D-、E、A+的剪力和弯矩。,解：,（1）计算支反力,（2）计算截面E的剪力和弯矩,解得：,（3）计算截面A+和D-的剪力和弯矩,解得：,解得：,同理：,三、计算规律,1.剪力(Shearforce),剪力：横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上横向力的代数和。,不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩.,2.弯矩(Bendingmoment),左侧梁段顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,弯矩：横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上的外力对该截面形心的力矩代数和。,4-2剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,FS=FS(x),M=M(x),一、剪力方程和弯矩方程用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,1.剪力方程,2.弯矩方程,弯矩图为正值画在受拉侧即（x轴下侧）,负值画在x轴上侧,二、剪力图和弯矩图,剪力图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,例题图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,解：（1）求支反力,（2）列剪力方程和弯矩方程.,剪力图为一倾斜直线,绘出剪力图,弯矩图为一条二次抛物线,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大,但此截面上FS=0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,弯矩图凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。,解:（1）求梁的支反力,例题图示的简支梁在C点处受集中荷载F作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.,将坐标原点取在梁的左端,将坐标原点取在梁的左端,AC段,CB段,由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于x轴的直线.,由（2），（4）式可知，AC、CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线.,在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F.弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.,解：求梁的支反力,例题图示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.,将坐标原点取在梁的左端.,因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程,由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线.,AC段,CB段,AC段和BC段的弯矩方程不同,AC,CB两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.,x=a,x=l,M=0,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.,+,三、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系,略去高阶微量，得:,利用（a）和（b），得:,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;,（3）根据q(x)0或q(x)0来判断弯矩图的凹凸性.,结论,q0时，FS图上扬,q0时，M图下倾,FS0时，M图上扬,FS=0时，M图水平,1、,FS图为平行于x轴的直线段。,2、,弯矩图凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。,4、,该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。,5、,在集中力作用处,FS图有突变，M图的斜率也发生突变，也就是出现尖角。,6、,在集中力偶作用处,M图有突变，FS图无特殊变化。,下表是常见载荷的FS图和M图,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,C,向下倾斜的直线,二次抛物线,在FS=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图的特征,弯矩图的特征,Mmax所在截面的可能位置,表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：,根据荷载及约束力的作用位置，确定控制面。,应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。,建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。,应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的剪力Fs2等于x1截面上的剪力Fs1加上x1x2两截面之间分布荷载图的面积.,若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的弯矩M2等于x1截面上的弯矩M1加上两截面之间剪力图的面积.,积分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：,突变规律(从左向右画),1、集中力作用处，FS图突变，方向、大小与力同；M图斜率突变。,2、集中力偶作用处，M图发生突变，顺下逆上（向受拉侧突变），大小与M同，FS图不发生变化。,例题一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知F=25.3kN,有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.,解：（1）求梁的支反力,将梁分为AC、CD、DB三段.每一段均属无荷载区段.,（2）剪力图,每段梁的剪力图均为水平直线,AC段,DB段,最大剪力发生在DB段中的任一横截面上,CD段,最大弯矩发生在C截面,（3）弯矩图,每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.,（4）对图形进行校核,在集中力作用的C,D两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.,在AC段剪力为正值，弯矩图为向下倾斜的直线.,在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向上倾斜的直线.,最大弯矩发生在剪力改变正、负号的C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.,例题一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.,解：（1）计算梁的支反力,将梁分为AC、CD、DB三段.AC和DB上无荷载，CD段有向下的均布荷载.,（2）剪力图,AC段水平直线,CD段向右下方的斜直线,DB段水平直线,最大剪力发生在AC和DB段的任一横截面上.,例题作梁的内力图.,解：（1）支座反力为,将梁分为AC、CD、DB、BE四段.,（2）剪力图,AC段向下斜的直线(),CD段向下斜的直线(),DB段水平直线(-),EB段水平直线(-),AC段向下斜的直线(),CD段向下斜的直线(),F点剪力为零,令其距A截面的距离为x,x=5m,（3）弯矩图,CD段,AC段,BE段,（4）校核,Fs图,M图,例外伸梁如图所示，已知q=5kN/m，F=15kN，试画出该梁的内力图。,Fs图,M图,FB=(15*2+5*2*5)/4=20kN,FD=(15*2-5*2*1)/4=5kN,+,-,100kN,100kN,Fs(kN),40,60,60,40,40,40,50,M(kNm),-,+,-,+,练习：画出梁的剪力图和弯矩图。,+,-,-,12.5kN,32.5kN,12.5,20,-,+,Fs:(kN),30,20,M:(kNm),练习：画出梁的剪力图和弯矩图。,-,+,10kN,40kN,10,20,20,+,-,+,Fs:(kN),10,10,M:(kNm),练习：画出梁的剪力图和弯矩图。,+,-,-,Fs:,qL,qL2/2,qL2/2,qL2/2,M:,练习：画出梁的剪力图和弯矩图。,-,-,+,四、按叠加原理作弯矩图,1、叠加原理多个荷载同时作用于结构而引起的内力等于每个荷载单独作用于结构而引起的内力的代数和.,2、适用条件所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系.即在弹性限度内满足胡克定律.,3、步骤（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图;（2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）,叠加法作内力图,-,-,-,-,-,-,1.平面刚架的内力剪力(shearforce);弯矩(bendingmoment);轴力(axialforce).,平面刚架是由在同一平面内,不同取向的杆件,通过杆端相互刚性连结而组成的结构.,一、平面刚架的内力图(Internaldiagramsforplaneframemembers),4-3平面刚架和曲杆的内力图,弯矩图(bendingmomentdiagram)画在各杆的受拉侧,不注明正、负号.,剪力图及轴力图(shearforceandaxialforcediagrams)可画在刚架轴线的任一侧(通常正值画在刚架的外側).注明正,负号.,2、内力图符号的规定(Signconventionforinternalforcediagrams),剪力对所考虑的一端曲杆内一点取矩产生顺时针转动趋势的剪力为正;,轴力引起拉伸的轴力为正；,例题18图示为下端固定的刚架.在其轴线平面内受集中力F1和F2作用，作此刚架的弯矩图和轴力图.,解：将刚架分为CB，AB两段,CB段,FN(x)=0,M(x)=F1x(0xa),FS(x)=F1(+)(0xa),BA段,FN(x)=F1（）(0xl),M(x)=F1a+F2x(0xl),FS(x)=F2(+)(0xl),二、平面曲杆(Planecurvedbars),轴力引起拉伸的轴力为正；,弯矩使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正.,剪力对所考虑的一端内一点取矩产生顺时针转动趋势的剪力为正;,1、平面曲杆(Planecurvedbars)轴线为一平面曲线的杆件.内力情况及绘制方法与平面刚架相同.,2、内力符号的确定(Signconventionforinternalforce),例19如图所示的半圆环半径为R,在自由端受到载荷F的作用.试绘制FS图、M图和FN图.,解：建立极坐标系,O为极点,OB极轴,q表示截面m-m的位置.,引言,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M，又有剪力FS.,4-4梁横截面上的正应力,只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩.,只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力；,所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.,分析方法(Analysismethod),简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.,若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.,纯弯曲（Purebending),一、纯弯曲时梁横截面上的正应力,（一）、实验（Experiment）,1.变形现象（Deformationphenomenon),纵向线,相对转过了一个角度，,仍与变形后的纵向弧线垂直.,各横向线仍保持为直线，,各纵向线段弯成弧线，,横向线,2.提出假设(Assumptions）,（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；,（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.,推论：必有一层变形前后长度不变的纤维中性层,中性轴横截面对称轴,应变分布规律：,直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.,（二）、变形几何关系,三、物理关系,所以,HookesLaw,直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.,应力分布规律：,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径r,四、静力关系(Staticrelationship）,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.,内力与应力的构成关系可得,（1）,（2）,（3）,将应力表达式代入（1）式，得,将应力表达式代入（2）式，得,将应力表达式代入(3)式，得,中性轴通过横截面形心,自然满足,EIz为梁的弯曲刚度.,得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,M为梁横截面上的弯矩；,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.,（1）应用公式时，一般将My以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力（为负号）；,（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.,则公式改写为,（1）当中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,z,y,（2）对于中性轴不是对称轴的横截面,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式,当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.,横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.,二、纯弯曲理论的推广,但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。,（压）,例,试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。,竖放,横放,例,2.强度条件的应用,（2）设计截面,（3）确定许可荷载,（1）强度校核,对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的,且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的,（两者有时并不发生在同一横截面上）,要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力,三、强度条件（Strengthcondition),1.数学表达式,梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.,例题T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为t=30MPa，许用压应力为c=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.,解：,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B截面,C截面,例T型截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。已知截面的惯性矩Iz=26.1106mm4,y1=48mm,y2=142mm。材料的许用应力=40MPa,=110MPa。试校核梁的强度。,1）作出梁的弯矩图,2）危险点分析,B点弯矩绝对值最大，应校核拉、压应力，C点下侧受拉，但离中性轴较远，其最大拉应力有可能比截面B的上侧还要大，所以也可能是危险点。,3）强度校核,故该梁不安全。从本例可以看出，对于脆性材料梁，真正的危险点有时并不一定在弯矩最大截面上。,例题由n片薄片组成的梁，当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲，近似地认为每片上承担的外力等于,解：每一薄片中的最大正应力,z,若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲,最大正应力等于,一、梁横截面上的切应力,1.矩形截面梁,4-5梁的切应力及强度条件,（1）两个假设,（a）各点处的切应力均与侧边平行。（切应力与剪力平行）（b）距中性轴等距离处各点切应力相等,（2）分析方法(Analysismethod),（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等；,（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向内力不等.,（c）在纵截面上必有沿x方向的切向内力dFS.故在此面上就有切应力.,根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.,m,（3）公式推导(Derivationoftheformula),假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2.,A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.,式中：,为面积A1对中性轴的静矩.,化简后得,由平衡方程,Fs截面剪力Sz距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩.,Iz截面对中性轴惯性矩b计算点处截面宽度,（4）切应力沿截面高度的变化规律,沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.,可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.,y=h/2（即在横截面上距中性轴最远处）t=0,y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值,式中，A=bh为矩形截面的面积.,截面静矩的计算方法,A1为截面面积,为截面的形心坐标,2.工字形截面梁,假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为,d腹板的厚度,距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.,（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；,（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.,tmin,tmax,3.圆环形截面梁,图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为，环的平均半径为r0，由于r0故可假设,（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；,（b）切应力的方向与圆周相切.,式中A=2r0为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为,z,y,r0,max,假设：,（a）沿宽度k-k上各点处的切应力均汇交于O点；,（b）各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.,4.圆截面梁,二、强度条件（Strengthcondition）,三、需要校核切应力的几种特殊情况,（1）梁的跨度较短，M较小，而FS较大时,要校核切应力；,（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；,（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.,最大切应力发生在中性轴上,例题一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa,许