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文档简介

.,4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,.,一、公因式最大公式,二、最大公因式的存在性与求法,1.4最大公因式,三、互素,四、多个多项式的最大公因式,.,i),1公因式:,若,满足:,且,2最大公因式:,若,满足：,ii)若，且，则,则称为的最大公因式,则称为的公因式,一、公因式最大公因式,.,的首项系数为1的最大公因式记作:,注：,，是与零多项式0的最,大公因式,两个零多项式的最大公因式为0,最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大,公因式是唯一的.,若为,的最大公因式，则，c为非零常数,若不全为零，则,.,二、最大公因式的存在性与求法,.,定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使,.,若有一为0，如，则,就是一个最大公因式且,考虑一般情形：,用除得：,其中或.,若，用除，得：,证：,.,若，用除，得,如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，,因此，有限次后，必然有余式为0设,其中或,即,于是我们有一串等式,.,.,从而有,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去,再并项就得到,.,说明:,定理中用来求最大公因式的方法，通常称为,辗转相除法,定理中最大公因式,中的不唯一.,对于，使,但是未必是的最大公因式.,.,如:，则,取，有,取，也有,取,也有,成立,事实上,若则对，,.,若，且,则为的最公因式,设为的任一公因式，则,证：,从而,即,为的最大公因式,.,例1,求，并求使,.,解:,且由,得,.,例2.设,求，并求使,.,因式，即,就可以)，这是因为和具有完全相同的,若仅求，为了避免辗转相除时出现,注:,分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始,为非零常数,.,则称为互素的(或互质的),1定义:,三、互素,若,互素,除去零次多项式外无,说明:,由定义，,其它公因式,.,定理3互素，使,2互素的判定与性质,证：,显然,设为的任一公因式，则,从而,又,故,.,定理4若，且，则,证：,使,于是有,又,.,推论若，且,又,，则,证:,，使,于是，使,而,由定理4有,从而,.,若满足:,定义,i),则称为的最大公因式,ii),若,则,四、多个多项式的最大公因式,.,注：,表示首1最大公因式,，使,的最大公因式一定存在,互素使,.,附:,最小公
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