高等数学同济版第一章PPT课件

-,1,高等数学,主讲人：张晓平教授,-,2,数学研究数和空间图形及其相互关系的科学,数学,不仅是一种工具,数学,而且是一种思维模式;,不仅是一种知识,而且是一种素养;,不仅是一种科学,而且是一种文化;,能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志.,数学,一、什么是数学?,-,3,高等数学,研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,1.分析基础:函数,极限,连续,2.微积分学:一元微积分,(上册),(下册),3.向量代数与空间解析几何,4.无穷级数,5.常微分方程,主要内容：,多元微积分,二、什么是高等数学?,初等数学,研究对象为常量,以静止观点研究问题.,初等数学,代数、几何、三角、解析几何,-,4,三、如何学习高等数学?,学数学最好的方式是做数学,预习,复习,作业,考勤,自我学习的能力,微信公众号:,山东建大高等数学,-,5,新生寄语,学而优则用,学而优则创,治学之道：,宽,专,漫,基础要宽,专业要专,要使自己的专业知识漫到其他领域,厚积薄发,做好当下,-,6,第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,-,7,一、映射,二、函数的概念,第一节,映射与函数,第一章,三、函数的几种特性,四、反函数,五、复合函数,六、初等函数,-,8,一、映射,映射,设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得,有唯一确定的,与之对应,则称f为,从X到Y的映射,记作,元素y称为元素x在映射f下的像,记作,元素x称为元素y在映射f下的原像.,集合X称为映射f的定义域;,Y的子集,称为f的值域.,-,9,注意:,1)映射的三要素定义域,对应规则,值域.,2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.,对映射,若,则称f为满射;,若,有,则称f为单射;,若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.,-,10,例如,f既是满射又是单射,故f为双射或一一映射.,又如,海伦公式,(满射),-,11,X(数集或点集),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用名称.,X(),Y(数集),f称为X上的泛函,X(),X,f称为X上的变换,R,f称为定义在X上的函数,映射又称为算子.,例如,目录,-,12,定义域,二、函数的概念,1.函数的概念,设数集,则称映射,为定义在,D上的函数,记为,自变量,因变量,叫作函数在x0处的函数值.,称为函数的值域.,函数图形:,-,13,（1）单值函数,多值函数,没有特别说明，均指单值函数.,说明：,例如,在(-r,r)内为多值函数.,（2）函数相等,例如：,和,是不同的函数,（对应关系不同）,和,是不同的函数,（定义域不同）,和,是相同的函数.,-,14,例1已知函数,解,及,写出f(x)的定义域及值域,并求,f(x)的定义域,值域,-,15,例2,函数,例3,绝对值函数,例4,符号函数,Signsain,显然：,-,16,例5,取整函数：,如,不超过x的最大整数，,记做：,目录,除例2外都是分段函数,-,17,1.函数的有界性,上界:,为一个上界.,称f(x)在X上有上界.,下界:,称f(x)在X上有下界.,为一个下界.,有界:,|f(x)|M.M为正数,无界:,在(0,1)内有下界,但没有上界,所以无界.,例如,结论,使得,三、函数的几种特性,-,18,2.函数的单调性,单调增加或单调减少的函数统称为单调函数.,图象：,-,19,3.函数的奇偶性,偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.,说明若,在x=0有定义,为奇函数时,则当,必有,-,20,例如,偶函数,双曲余弦,记,又如,奇函数,双曲正弦,记,P13：,-,21,再如,奇函数,双曲正切,记,说明给定,则,偶函数,奇函数,P11例11,自学：P11函数的运算,-,22,4.函数的周期性,l称为f(x)的周期.,通常，周期是指最小正周期.,周期为,周期为,注周期函数不一定存在最小正周期.,例如常量函数,狄利克雷函数,x为有理数,x为无理数,目录,-,23,1.反函数的概念,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为f的反函数.,其反函数,(减),(减).,(1)yf(x)单调递增,且也单调递增,2.反函数的性质,四、反函数,相对而言，y=f(x)称为直接函数.,-,24,(2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,-,25,考虑正弦函数、余弦函数:,-,26,得到反正弦函数、反余弦函数:,反三角函数都是多值函数，可选取其单值支作为主值.,-,27,考虑正切函数:,得到反正切函数:,-,28,考虑余切函数:,得到反余切函数:,目录,-,29,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,u称为中间变量.,注意构成复合函数的条件,不可少.,例如,函数链:,可定义复合函数,五、复合函数,但函数链,不能构成复合函数.,-,30,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.,目录,-,31,六、初等函数,1.基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,2.初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所,构成,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.,(自学,P13P15),如,-,32,设函数,x换为f(x),例6,解,-,33,例7求,的反函数及其定义域.,解,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,-,34,内容小结,1.映射的概念,定义域对应规律,3.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.初等函数的结构,2.函数的定义及函数的二要素,第一章第一节,作业：16,结束,-,35,且,备用题,证明