2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步6垂直关系6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2.docx

6.2垂直关系的性质学 习 目 标核 心 素 养1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理(重点)2理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化(难点、易错点)3能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题(难点)1.通过学习直线与平面、平面与平面垂直的性质定理提升数学抽象、直观想象素养2通过应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题，培养逻辑推理素养.1直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行(2)符号语言：l，mlm.(3)图形语言：如图所示(4)作用：证明两直线平行思考1：过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：一条2平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(2)符号语言：，m，l，lml.(3)图形语言：如图所示(4)作用：证明直线与平面垂直思考2：若，则内的直线与内的直线有什么位置关系？提示：平行、相交、异面思考3：若，则内的直线是否都与内的直线垂直？提示：不是1在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1D1DA1AB可证BD平面AA1C1C，而CE平面AA1C1C，故BDCE.2若平面，直线a，则()Aa Ba或aCa与相交 Da或a或a与相交Da与三种位置关系都有可能3在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A相交B平行C异面 D相交或平行B圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确4(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线答案B线面垂直的性质【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.证明因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.证明线线平行常用如下方法：(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.1如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.解因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB，因此，al.面面垂直性质的应用【例2】如图，已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.证明如图，在平面PAC内作ADPC于点D，平面PAC平面PBC，AD平面PAC，平面PAC平面PBCPC，且ADPC，AD平面PBC，又BC平面PBC，ADBC.PA平面ABC.BC平面ABC，PABC，ADPAA，BC平面PAC，又AC平面PAC，BCAC.1面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直2证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线以上三点缺一不可2如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC.解平面VAB平面ABCD，且BCAB，平面VAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，BC平面VAB，VA平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC，平面VBC平面VAC.垂直关系的综合应用探究问题1如图，四边形ABCD是正方形，SA平面ABCD，BKSC于点K，连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直，并说明理由提示：垂直连接AC(图略)四边形ABCD是正方形，ACBD.又SA平面ABCD，SABD，BD平面SAC，SCBD.又SCBK，BKBDB，SC平面KBD.又SC平面SBC，平面SBC平面KBD.2在上述问题中，判断平面SBC与平面SDC是否垂直，并说明理由提示：不垂直假设平面SBC平面SDC.BKSC，BK平面SDC.DC平面SDC，BKDC，又ABCD，BKAB.ABCD是正方形，ABBC，AB平面SBC，又SB平面SBC，ABSB，这与SBA是RtSAB的一个锐角矛盾，故假设不成立原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.【例3】如图所示 ，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论思路探究解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论解(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，PAD为正三角形，PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，BGAD.又BGPGG，AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF，在PBC中，FEPB.在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，平面DEF平面PGB.由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD，平面DEF平面ABCD.本例条件不变，试求二面角PBCA的大小解如例题解答图，易知PG平面ABCD，PGBC.又四边形ABCD为菱形，且DAB60，BGAD.又ADBC，BGBC，BC平面PBG，BCPB.PBG为二面角PBCA的平面角又PGa，BGa，PGBG，PBG45.二面角PBCA的大小为45.立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想垂直关系的转化如下：1线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：1思考辨析(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行()(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直()(3)若平面平面，平面平面，则平面平面.()解析(3)，或l.答案(1)(2)(3)2已知平面平面，l，点Pl，给出下面四个结论：过P与l垂直的直线在内；过P与垂直的直线在内；过P与l垂直的直线必与垂直；过P与垂直的平面必与l垂直其中正确的命题是()ABCDA因为，l，Pl，所以过点P作的垂线必在平面内且和l垂直，可能成立，也可能不成立3(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，过点P作PDAC，交AC于D，作PEBC，交BC于E，过P作PO平面ABC，交平面ABC于O，连接OD，OE，则PDPE，CDCEODOE1，PO.P到平面ABC的距离为.4如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面D