中考数学一轮复习-第4讲-因式分解(世纪金榜课件)

第四讲因式分解,一、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的_的形式，这种变形叫做多项式的因式分解.二、因式分解的方法1.提公因式法：am+bm+cm=_.2.运用公式法：平方差公式：a2-b2=_；完全平方公式：a22ab+b2=_.,积,m(a+b+c),(a+b)(a-b),(ab)2,三、因式分解的步骤1.若多项式的各项有公因式，则应先_，首项是负的，可将负号一并提取.2.若多项式的各项没有公因式，则可以考虑用_法来因式分解.3.检查因式分解的结果是否彻底.,提取公因式,公式,四、因式分解与整式乘法的关系多项式整式的积,【思维诊断】(打“”或“”)1.因式分解x2+5x+1=x(x+5)+1.()2.因式分解3a2b+6ab+3ab=3ab(a+2).()3.因式分解-2xy2+4xy-2=-2(xy2+2xy-1).()4.因式分解m2-16=(m+4)(m-4).()5.因式分解-x2-y2=(x+y)(x-y)(),热点考向一因式分解的概念及提取公因式【例1】(1)(2014毕节中考)下列因式分解正确的是()A.2x2-2=2(x+1)(x-1)B.x2+2x-1=(x-1)2C.x2+1=(x+1)2D.x2-x+2=x(x-1)+2,(2)(2013凉山州中考)已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b)，其中a，b均为整数，则a+3b=.,【思路点拨】(1)利用因式分解的概念进行判断.(2)利用提取公因式，可先将(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)进行因式分解，再结合题中已知的分解结果(3x+a)(x+b)，可得到a，b的值，进而可求出a+3b的值.,【自主解答】(1)选A.A、2x2-2=2(x2-1)=2(x+1)(x-1)，故此选项正确；B、x2-2x+1=(x-1)2，故此选项错误；C、x2+1不能运用完全平方公式进行分解，故此选项错误；D、x2-x+2=x(x-1)+2，还是和的形式，不属于因式分解，故此选项错误.,(2)(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21)-(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8).将上述因式分解结果与(3x+a)(x+b)对比可得a=-7，b=-8，于是a+3b=-7+3(-8)=-31.答案：-31,【规律方法】确定公因式的方法1.所含的字母或因式是每一项都含有的.2.相同字母或因式的指数在各项中是最低的.3.各项系数为整数时，公因式的系数是它们的最大公约数.由此可见，确定公因式时，只要取各项系数的最大公约数与各相同字母的最低次幂的积即可.,【真题专练】1.(2014安徽中考)下列四个多项式中，能因式分解的是()A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y【解析】选B.A中有两项，不能提取公因式，也不符合平方差公式特点，故A错误；B中可改写成两个数的平方和减去这两个数的积的两倍，符合完全平方公式的特点，故B正确；C含有两项，不能提取公因式，也不符合平方差公式特点，C错误；D项不能提取公因式，也不符合平方差公式特点，故D错误.,2.(2014衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为()x3+2xy+x=x(x2+2y)；x2+4x+4=(x+2)2；-x2+y2=(x+y)(xy).A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】选C.x3+2xy+x=x(x2+2y+1)；x2+4x+4=(x+2)2；-x2+y2=y2-x2=(y+x)(y-x).所以错误，只有正确.,3.(2014福州中考)分解因式：ma+mb=.【解析】提取公因式m，即ma+mb=m(a+b).答案：m(a+b)【特别提醒】用提公因式法因式分解时易出现漏项，丢系数或符号错误运用提公因式法因式分解时，提公因式后，括号里的多项式项数与原多项式项数应一致.若系数有公因数时，注意系数不能丢掉.若提出公因式的系数为负时，括号里的各项要改变符号.,4.(2013无锡中考)因式分解：2x2-4x=.【解析】2x2-4x=2x(x-2).答案：2x(x-2)5.(2013广州中考)因式分解：x2+xy=.【解析】x2+xy=x(x+y).答案：x(x+y)6.(2014温州中考)因式分解：a2+3a=.【解析】a2+3a=a(a+3).答案：a(a+3),7.(2013桂林中考)因式分解：3ab2-a2b=.【解析】3ab2-a2b=ab3b-aba=ab(3b-a).答案：ab(3b-a)8.(2013株洲中考)把多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m=，n=.【解析】(x+5)(x+n)=x2+nx+5x+5n=x2+(n+5)x+5n，m=n+5，5n=5，故m=6，n=1.答案：61,热点考向二运用公式法因式分解【例2】(1)(2014菏泽中考)因式分解：2x3-4x2+2x=.(2)(2014抚州中考)因式分解：a3-4a=.(3)(2013威海中考)因式分解：-3x2+2x-=.,【思路点拨】(1)先提公因式，再利用完全平方公式进行分解.(2)先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解.(3)首先提取公因式，再利用两数差的平方公式进行因式分解.,【自主解答】(1)2x3-4x2+2x=2x(x2-2x+1)，=2x(x-1)2.答案：2x(x-1)2(2)a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).答案：a(a+2)(a-2)(3)-3x2+2x-=-(9x2-6x+1)=-(3x-1)2.答案：-(3x-1)2,【一题多解】答案：,【规律方法】因式分解的三个步骤1.提：有公因式的先提公因式.2.套：提公因式后的因式看能否套用乘法公式.3.查：检查结果是否分解彻底.,【真题专练】1.(2013佛山中考)因式分解a3-a的结果是()A.a(a2-1)B.a(a-1)2C.a(a+1)(a-1)D.(a2+a)(a-1)【解析】选C.a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)，故选C.,2.(2013张家界中考)下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是()A.x2+x+1B.x2+2x-1C.x2-1D.x2-6x+9【解析】选D.形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2能利用两数和(或差)的平方公式进行因式分解，D项中x2-6x+9=x2-23x+32满足条件.3.(2013邵阳中考)因式分解：x2-9y2=.【解析】x2-9y2=(x+3y)(x-3y).答案：(x+3y)(x-3y),4.(2014巴中中考)因式分解：3m2-27=.【解析】3m2-27=3(m2-9)=3(m+3)(m-3).答案：3(m+3)(m-3)5.(2014白银中考)分解因式：2a2-4a+2=.【解析】原式=2(a2-2a+1)=2(a-1)2.答案：2(a-1)2,6.(2014陕西中考)因式分解：m(x-y)+n(x-y)=.【解析】m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n).答案：(x-y)(m+n)7.(2014株洲中考)分解因式：x2+3x(x-3)-9=.【解析】x2+3x(x-3)-9=(x2-9)+3x(x-3)=(x+3)(x-3)+3x(x-3)=(x-3)(x+3)+3x=(x-3)(4x+3).答案：(x-3)(4x+3),8.(2014山西中考)分解因式：(x-1)(x-3)+1.【解析】原式=x2-3x-x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2.,【知识拓展】二次项系数为1的二次三项式分解因式：x2+5x+6=(x+2)(x+3)，其中常数项6分解成2，3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=23，且2+3=5.一般地，x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，即对于二次三项式x2+px+q，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).,把x2+px+q分解因式时：(1)若常数项q是正数，那么分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)若常数项q是负数，那么分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同.,热点考向因式分解的应用【例】(1)(2013威海中考)若m-n=-1，则(m-n)2-2m+2n的值是()A.3B.2C.1D.-1(2)(2014连云港中考)若ab=3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是.,【思路点拨】(1)先将代数式进行因式分解，再代入计算，最后从选项中选取正确的结果.(2)先将a2b-2ab2因式分解，再将ab，a-2b的值代入求值.,【自主解答】(1)选A.(m-n)2-2m+2n=(m-n)2-2(m-n)=(m-n)(m-n-2)，m-n=-1，原式=(-1)(-1-2)=3.(2)因为a2b-2ab2=ab(a-2b)，所以a2b-2ab2=35=15.答案：15,【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入.2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.,【真题专练】1.(2013衡阳中考)已知a+b=2，ab=1，则a2b+ab2的值为.【解析】a2b+ab2=ab(a+b)=12=2.答案：22.(2014梅州中考)已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=.【解析】a2-b2=(a+b)(a-b)=43=12.答案：12,【一题多解】解二元一次方程组得把代入a2b2=12.答案：12,3.(2013徐州中考)当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为.【解析】m2+2mn+n2=(m+n)2=32=9.答案：94.(2013泰州中考)若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是.【解析】m=2n+1，m-2n=1，又m2-4mn+4n2=(m-2n)2，原式=(m-2n)2=12=1.答案：1,5.(2013杭州中考)323.14+3(-9.42)=.【解析】原式=323.14+3(-3)3.14=323.14-323.14=3.14(9-9)=0.答案：0,【巧思妙解】巧妙变形利用因式分解求值【典例】已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=.,【常规解法】a2+b2+c2-ab-bc-ca=(2015x+2014)2+(2015x+2015)2+(2015x+2016)2-(2015x+2014)(2015x+2015)-(2015x+2015)(2015x+2016)-(2015x+2016)(2015x+2014)=(2015x)2+22015x2014+20142+(2015x)2+22015x2015+20152+(2015x)2+22015x2016+20162-(2015x)2-2015x2015-2015x2014-20142015-(2015x)2-2015x2016-2015x2015-20152016-(2015x)2-2015x2014-2015x2016-20142016=3.答案：3,【巧妙解法】a2+b2+c2-ab-bc-ca=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)=(a2-2ab+b2)