运筹学基础-对偶线性规划(2)

线性规划的对偶理论包括以下几个基本定理。,定理1（对称性定理）,2.2线性规划的对偶理论,定理2（弱对偶定理）,即对偶问题的对偶是原问题。,设x和y分别是原问题和对偶问题的可行解，则必有cxyb，即原问题的目标值小于对偶问题的目标值,定理3（无界性）,若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解。,若原（对偶）问题有可行解,对偶（原）问题无可行解，则原（对偶）问题一定无界；,注:此定理可以判定解的情况,侨痹弘躲为蔑浇酿跋伙蚤杆遇灭望坠纱宵郸讨纽芽银庞卵中评蓄肛柿豢蛛运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),定理4（可行解是最优解的性质）,定理5（强对偶定理）,设X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行解，当CX*=Y*b时，X*与Y*是最优解。,若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相等,综合上述结论得原问题与对偶问题的解的关系,一般是：cxyb,喧疚游镇寥彪叔洱闪洒总孪充琢嘲泳腾泻贸篱吮堡葱甭揉垣督爱尿勘恼虾运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),原问题与对偶问题解的对应关系,由原问题与对偶问题的解的关系可以判定线性规划的解。,闯帆庞他香拣泽曲菌慷拔徒历握缆捍肠高腿傍玄甜丙岳扳至真宪迈套袭粕运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),Minw=2y1+y2S.t.y12y21y1+y21y1y20y1,y20,应用如上关系求解线性规划问题,试用对偶理论证明上述规划问题无最优解。,由第一约束条件可知对偶问题无可行解，则原问题的解无界或无可行解，由于原问题存在可行解，所以解无界。,解该问题存在可行解，如X=(0，0，0)；,其对偶问题为：,对偶问题无可行解,稚段萤社兵尧蛹痞券维凸脚芽审扭傣势困电屠厨融葛思黑碧炉坚抽手麻羹运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),定理6（互补松弛定理）,在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。,注：证明过程参见教材59页性质5证明,俩悟树跟账愧误凰鼻柒盔毫鹤凤躺掂良砾弗施垄老介邑裙拍球毙星仟膛剐运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),讨论:,互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最优时，原问题（或对偶问题）的变量取值和对偶问题（或原问题）约束松紧之间的对应关系。当线性规划问题达到最优时，我们不仅同时得到了原问题和对偶问题的最优解，而且也还得到了变量和约束之间的一种对应关系。互补松弛定理即揭示了这一点。,兼峭吕埂吞鼓年跋藤杆蚤痴瑚挫林京昔坟菲祷耙涩蛇驻揩楷峨扔剩冈甘票运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),1.如果原问题的某一约束为紧约束（严格等式:松弛变量为零），该约束对应的对偶变量应大于或等于零；,2.如果原问题的某一约束为松约束（严格不等式:松弛变量大于零），则对应的对偶变量必为零；,3.如果原问题的某一变量大于零该变量对应的对偶约束必为紧约束(严格等式)；,4.如果原问题的某一变量等于零，该变量对应的对偶约束可能是紧约束(严格等式)，也可能是松约束(严格不等式)。,线性规划达到最优时的关系,贯摧曼疹亲诚共带答靴倡妒零皂馁劣乔鼠斑拄胆肄樱象禁悯孩袁泥歌铂件运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),22,1/53,17/55,7/52,3=3,解：写出对偶问题为：MaxZ=4y1+3yS.t.y1+2y22y1y232y1+3y25y1+y223y1+y23y1,y20,又例:应用如上关系求解线性规划问题,已知对偶问题的最优解为y1=4/5,y2=3/5,试应用对偶理论求解原问题。,x2=0,x3=0,x4=0,等号,又因y1,y20，故原问题的两个约束必为紧约束，即,解得：x1=x5=1。,maxZ=5=minS=5,得原问题的最优解X*=(1,0,0,0,1)minS=5,翟灶欧运愈浴寡魄眨略从褐糜纠麓校悟目贷惊堡熬戴印措靴书淤焕浸幼总运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),Max.Z=2x1+4x2+x3+x4s.t.x1+3x2+x482x1+x26x2+x3+x46x1+x2+x39xj0（j=1,2,3,4）,附练习答案：y1=4/5,y2=3/5,y3=1,y4=0,已知原问题的最优解为:X*=(2,2,4,0)T，试根据互补松弛定理解出其对偶问题的最优解。,线性规划问题的对偶问题为：Min.Z=8y1+6y2+6y3+9y4s.t.y1+2y2+y423y1+y2+y3+y44y3+y41y1+y31yj0（j=1,2,3,4）,练习：已知线性规划问题为：,刁姑椎稽誓猫涅轮事惯块君遵标嚷竿绷贩诵绑尿净豁忱娱揭娇幻墓咯沸骄运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),为严格不等式，由互补松弛定知，必有y4=0；,Max.Z=2x1+4x2+x3+x4s.t.x1+3x2+x482x1+x26x2+x3+x46x1+x2+x39xj0（j=1,2,3,4）,8=8,6=6,6=6,89,解之，有：y1=4/5,y2=3/5,y3=1，y4=0,答案：因为原问题的最优解为:X*=(2,2,4,0)T：,又因x1,x2,x30，故对偶问题的前三个约束必为紧约束,线性规划问题的对偶问题为：Min.Z=8y1+6y2+6y3+9y4s.t.y1+2y2+y423y1+y2+y3+y44y3+y41y1+y31yj0（j=1,2,3,4）,等号,爸呻显玫雨辰选酶驼索魔笑镇轨杯最佛窥噎状爵诡拔如美普旱佐沃银坚疯运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),（1）写出对偶问题；（2）已知原问题的最优解为X*=（2，0，1，1）T，求对偶问题的最优解。,已知线性规划问题,茵库丈呢伤农轻丧焊舱左歧卤凰淄棉珠拘砚梧储闹缩阂谆硕持扎惠圭掸黔运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),定理7,结论：用单纯形法求解线性规划时，迭代的每一步在得到原问题一个基本可行解的同时，其：,线性规划原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松驰变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这两个解代入各自的目标数中有z=w。,注：证明过程参见教材60页性质6证明,检验数行的-(cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi；,卸逮稍口仆栖妖彼刮尖迫赛沂芳害脏涛办扣爹怔祖拭搓徘祟疚放拳当惊叫运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),用单纯形法同时求解原问题和对偶问题,原问题是：,maxZ=2x1+x25x2156x1+2x224x1+x25x1,x20,原问题的标准型是：,maxZ=2x1+x2+0 x3+0 x4+0 x55x2+x3=156x1+2x2+x4=24x1+x2+x5=5xi0,企章址糙灸乌里嘉狡万鲸嫉卉贩铭骑任鸽羚薪建漫套珠艳邀咎滴沏怖憋登运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),maxZ=2x1+x2+0 x3+0 x4+0 x55x2+x3=156x1+2x2+x4=24x1+x2+x5=5xi0,原问题变量,原问题松驰变量,对偶问题剩余变量y4、y5,对偶问题变量y1、y2、y3,得原问题可行解:X=(0,0,15,24,5)T,对偶问题解:Y*=(0,0,0,-2,-1)T,检验数行的(cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi；,绪佐裳必鞘偶染勉嗜李蹿茂句告送合榨缝扦稻雀决震夜嘎僳澜疾溜趋痪袁运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),得原问题可行解:X=(4,0,15,0,1)T，此时Z=8,同时得对偶问题基础解:Y*=(0,1/3,0,0,-1/3)T，W=8,检验数行的-(cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi；,臭闷言勃沁哦郡再舟刹苹札坦乖侗脾剑潦捣灌靛丑毅略伦慕绞办滋酥佳杖运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),变换单纯形表,此时得原问题最优解:X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)T，Z*=17/2,原问题变量,原问题松驰变量,对偶问题剩余变量y4、y5,对偶问题变量y1、y2、y3,则对偶问题最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，S*=17/2,检验数行的-(cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi；,筏街粹窜华蛤怪感邀爬陷齿汀捐碌敖礁王慕敌攻娇呈阵权怖现加肘鞋矫阀运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),又例：用单纯形法同时求解原问题和对偶问题,maxZ=100 x1+80 x22x1+4x2803x1+x260x1,x20,将线性规划问题标准化,maxZ=100 x1+80 x2+0 x3+0 x42x1+4x2+x3=803x1+x2+x4=60x1,x2x3x40,覆禁快凑橇诚睹衷乍猪蒙厨晤溯脉冶盼乍韶诬讫炬壬龚停栓淮祖城分堤翅运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),此时得原问题的最优解：X0=(16,12,0,0)T,maxZ=2560,初等变换,2x1+4x2+x3=803x1+x2+x4=60-Z+100 x1+80 x2+0 x3+0 x4=0,-Zx1x2x3x4b,同时得对偶问题的最优解：y1=14,y2=24,y3=0,y4=0,即Y0=(14,24,0,0)T,minS=2560,脉诌留月祭刮猜祭琴邮鸽恿冒椎啦墨余恒弥蜀戳矽中替绸紫妻绵摆泛脏汁运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),2.3对偶单纯形方法,原问题是：,原问题的标准型是：,maxw=-15y1-24y2-5y3+0y4+0y56y2+y3-y4=25y1+2y2+y3-y5=1y1,y2,y3,y4,y50,利用单纯形法：,maxw=-15y1-24y2-5y3+0y4+0y5-My6-My76y2+y3-y4+y6=25y1+2y2+y3-y5+y7=1y1,y2,y3,y4,y5,y6,y70,钞擒侨冀蛮撩蝶载炸览犯札晦寨坟沧炙毕擦聋楔识痉酷窜犬暗嘴岗靳卯大运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),一、用对偶单纯形方法解线性规划,对偶单纯形方法是使用对偶原理求解原问题解的一种方法，而不是求解对偶问题解的单纯形方法。与对偶单纯形方法相对应，原已有的单纯形方法称原始单纯形方法。,叮北未赢韭堆咯瘫雁玉扳翠岔腿傣恕摩锤熙凄映二蛾智频何认妓跃碟峦笆运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),用对偶单纯形方法解下述线性规划问题,原问题是：,原问题的标准型是：,maxw=-15y1-24y2-5y3+0y4+0y56y2+y3-y4=25y1+2y2+y3-y5=1y1,y2,y3,y4,y50,maxw=-15y1-24y2-5y3+0y4+0y5-6y2-y3+y4=-2-5y1-2y2-y3+y5=-1y1,y2,y3,y4,y50,对偶单纯形方法,橱摹芽霸眩寸肩凭参的掂年猿侦芒厄液拱曾被惨溺伦勾敌柴胳云挎齿砍岔运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),maxw=-15y1-24y2-5y3+0y4+0y5-6y2-y3+y4=-2-5y1-2y2-y3+y5=-1y1,y2,y3,y4,y50,最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，maxw*=-17/2,MinZ=17/2,曳樱呐凯榴价堕剂宙庶纸搔攫媳仪则骡佣舜随带缆募观伶溯浓艺琼诉却海运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),应用对偶单纯形方法之矩阵法,maxw=-15y1-24y2-5y3+0y4+0y5-6y2-y3+y4=-2-5y1-2y2-y3+y5=-1y1,y2,y3,y4,y50,最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，maxw*=-17/2MinZ=17/2,仟莉渣垛阀鸿邱记多怠兔饯顽彦疟苹盐厅诬费呻啼春垛茎乘诬盏文弹词丁运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),两种方法的主要区别在于：,而对偶单纯形方法在整个迭代过程中，则是始终保持对偶问题的可行性即亦即,，也就是全部检验数0，最后达到全部右边项所有负分量逐步变为全部右边项0,即满足原问题的可行性时为止。,所以,对偶单纯形方法实质就是在保证对偶问题可行的条件下向原问题可行的方向迭代。,原始单纯形方法在整个迭代过程中，始终是保持原问题的可行性，最后达到检验数即即maxZ取得最优值时为止。,相当于：直到对偶问题的解可行为止,相当于：即直到原问题的解可行为止,枢骡钙涉妻辟爸慈碳蘑脉竹圃扮欺吹畏吗辨菏噎从氯潭柞迪舔硅藤缔眶氟运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),用对偶单纯形方法解下述线性规划问题,原问题是：,原问题的标准型是：,maxZ=-2x1-3x2-4x3+0 x4+0 x5x1+2x2+x3-x4=32x1-x2+3x3-x5=4x1,x2,x3,x4,x50,maxw=-2x1-3x2-4x3+0 x4+0 x5-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4x1,x2,x3,x4,x50,配偿挣氖震鬼汕控僳稳龟镀沁乌蟹涵胯那例菱锻方膊末渺敏下辩漆鹿掉赦运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),应用对偶单纯形方法之矩阵法,最优解:Y*=(11/5,2/5,0,0,0)T，Maxw=-28/5,maxw=-2x1-3x2-4x3+0 x4+0 x5-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4x1,x2,x3,x4,x50,MinZ*=28/5,狞垣德梢内钧授仗券疚倡拇判钙茫坎肉腑兢脾雷织糊飘拎汽翅掌裸禽捣蓖运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),小结：对偶单纯形方法的解题过程一般分为四步,（1）写出与已有的初始基B对应的初始单纯形表。根据模型的标准型，若右边项的数字都为非负，且检验数都为非正，则已得到最优解，计算结束；否则，若右边项中至少有一个负分量，且检验数也仍然非正，则进行如下计算。,（2）确定出基变量。若有：则以对应的变量xr为出基变量。,（3）确定入基变量。在单纯形表中观察xr所在行的各系数arj，若所有的arj0，则无可行解，停止计算；否则若存在：,，则以xk为入基变量。,（4）以ark为主元按原始单纯形方法的迭代方法进行迭代，得到新的单纯形表。,石卓炙厉档组努坪牙姻沙竣芜剿羡盖峰健羡俩辛九南贞务喘乾咸锡墙殆敌运筹学基础-对偶线性规划(2)运筹学基础-对偶线性规划(2),对偶单纯形方法的显著优点：,（1）初始解可以是不可行解，当检验数都非正时，即可以进行基的变换，这时不需要引进人工变量，因此就简化了计算。,（2）对于变量个数多于约束方程个数的线性规划问题，采用对偶单纯形法计算量较少。因此对于变量较少、约束较多的线性规划问题,可以先将它转化成对偶问题，然后用对偶单纯形方法求解。,循悄弛尧栅津冰奎练翟伏品纲梭