江西省南康中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）.docx

南康中学20182019学年度第二学期高二第二次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面对应的点位于第 ()象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】D【解析】【分析】先化简复数z,再求即得解.【详解】由题得=所以.所以在复平面对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数的求法，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数不等式的性质解得，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】ln（x+1）00x+111x0，1x0，但时，不一定有1x0，如x=-3，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查对数不等式的性质，属于基础题3.曲线在处的切线的倾斜角是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求导，然后求出切线的斜率，继而得到倾斜角【详解】当时，则倾斜角为故选【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，求导后先求出在某点处切线的斜率，然后求出倾斜角的大小，较为基础。4.二项式的展开式的常数项为（ ）A. B. 5C. D. 10【答案】B【解析】【分析】先写出二项式展开式的通项,再化简令x的指数为零即得r的值，再求出展开式的常数项.【详解】由题得二项式展开式的通项为，令.所以二项式展开式的常数项为.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （）它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；注意.5.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数共有 （ ）A. 36个B. 72C. 48D. 60【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论，一种是个位是0，一种情况是个位是2或4，即得解.【详解】当个位是0时，偶数有种，当个位是2或4时，偶数有种，所以共有24+36=60种.故选：D【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.函数在的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别令和，用排除法即可得出结果.【详解】令，得，排除B、C选项；令，得，排除D.故选A【点睛】本题主要考查函数的图像，特殊值法是选择题中比较实用的一种方法，属于基础题型.7.已知椭圆的左、右焦点分别为 为椭圆上一动点，面积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题得当M椭圆短轴端点时，面积取最大值，解方程=即得解.【详解】由题得当M在椭圆短轴端点时，面积取最大值，解方程=,所以a=2c,即.故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，考查离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知中，则（ ）A. 等腰三角形B. 的三角形C. 等腰三角形或的三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】,，整理得,，或。当时，则，三角形为等腰三角形；当时，则，可得。综上为等腰三角形或的三角形。选C。9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A. 72B. 120C. 144D. 168【答案】B【解析】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共种，第二类是歌舞类用三个隔开共种，所以N=+=120.种。选B.10.某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为 （ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，原几何体为一个水平放置的四棱锥，底面是边长为2，的矩形，高是.由锥体的体积公式得，故选D.11.已知双曲线 （，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的外接圆半径为( )A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程为，再根据AOB的面积求出p=2,再利用正弦定理求的外接圆半径.【详解】由题得.所以双曲线的渐近线方程为.联立得|AB|=.所以在三角形OAB中，由正弦定理得.所以的外接圆半径为2.故选：C【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的简单几何性质，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设函数上任意一点，得到切线方程为.再根据图像过点，所以，令，等价于函数g(x)有三个零点，分析即得解.【详解】设函数上任意一点，在点处的切线方程为，即.若过点，则依题意，方程有三个不等实根. 令，得，.当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增.因此的极小值为，极大值为.若有三个不等实根，故.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则至少选中一名男生的选法种数是_【答案】7.【解析】【分析】利用间接法解答. 先求出从5名学生中选2名学生去参加活动的种数,再求出从3名女生中选2名女生去参加活动的种数，把它们相减即得解.【详解】从5名学生中选2名学生去参加活动，有,从3名女生中选2名女生去参加活动有,所以至少选中一名男生的选法种数是10-3=7.故答案为：7【点睛】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.如图所示，在正方形内，随机投入一个质点，则所投质点恰好落在与轴及抛物线所围成的区域内的概率是_ 【答案】.【解析】【分析】先求出阴影部分的面积，再利用古典概型的概率公式求解.【详解】由题设正方形的边长为2，则阴影部分的面积为，故所投质点恰好落在与轴及抛物线所围成的区域内的概率是.故答案为：.【点睛】本题主要考查定积分求面积，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则与的值分别为_【答案】6，35.【解析】【分析】根据前面的式子可得a=6,即得解.【详解】根据前面的式子可得a=6,.故答案为：6，35.【点睛】本题主要考查归纳推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为若函数，且，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】根据为“一阶比增函数”不是“二阶比增函数”可得，在是增函数，且在不是增函数，根据二次函数的图象和性质及导数法，可求出实数的取值范围.【详解】因为，且，即，在是增函数，所以. 而在不是增函数，又，且当是增函数时，有，所以当不是增函数时，综上，得 故答案为：【点睛】本题主要考查学生对新定义理解及应用能力，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围【答案】（1）的单调递增区间是和，的单调递减区间是；（2）.【解析】【分析】利用导数求函数的单调区间；(2)由函数的极值得到a=1,再利用导数求出函数的单调性和极值，再结合函数的图像和性质分析得到的取值范围【详解】当或时，当时，所以的单调递增区间是和，的单调递减区间是.因为在处取得极值，所以，所以.所以.由，解得.由(1)中的单调性，可知在处取得极大值，在处取得极小值.因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性，可知的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且，.(1)求与；(2)证明：.【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求等差数列及等比数列通项公式，基本方法为待定系数法，即根据条件列出公差与公比的方程组：，解得（2）数列不等式证明得方法一般为以算代证：先求前项和，所以，因此利用裂项相消法求得，再根据项数为正整数条件，确定其取值范围试题解析：解：（1）由于，可得解得：或（舍去）（2）证明：由，得，1故考点：等差数列及等比数列通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如(n2)或.19.的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，面积为2，求【答案】（）；（）2【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.试题解析：（1），；（2）由（1）可知，20.如图，在梯形中，.，且平面，点为上任意一点.（1）求证：；（2）点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为60，试确定点的位置【答案】（1）见解析;（2）点与点重合【解析】【分析】.根据余弦定理，求得AC长度，再根据勾股定理逆定理判定；根据线面垂直的性质，得到；进而通过判定线面垂直得到线线垂直。.以C为原点建立空间直角坐标系，设出M的坐标，求得平面的法向量和平面的法向量，利用两个法向量的夹角求得FM与FE的关系。【详解】.证明：，连接，在中，平面，又，平面，平面，.以为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设，则，故，设平面的法向量为，则即令，可得，.易知平面的一个法向量为，.点与点重合.【点睛】本题考查了空间几何中线面垂直的判定与性质，利用空间直角坐标系解决空间几何体面面夹角问题，属于中档题。21.已知椭圆的两焦点在轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)动直线(不全为零)交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）； （2）线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1).【解析】【分析】(1)根据椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，以及斜边长为，可求出，进而可求出椭圆方程；(2)先由直线可得求过定点；根据与轴平行时或与轴平行时，先求出定点，再由证明即可.【详解】(1)椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，.又斜边长为，即，故， ， 椭圆方程为. (2)由题意可知该动直线过定点,当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为；当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为.由 得，故若存在定点，则的坐标只可能为.下面证明为所求：若直线的斜率不存在，上述已经证明.若直线的斜率存在，设直线：，由 得， ，=，即以线段AB为直径的圆恒过点.【点睛】本题主要考查椭圆方程，以及椭圆中存在定点满足某条件的问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解，属于常考题型，计算量较大.22.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意，恒有成立，试