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第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数的求导法则,第九章,一、一元函数与多元函数复合情形,定理1.若函数,处具有连续偏导数,在点t可导,则复合函数,且有链式法则,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,口诀:,(全导数公式),Z在点t可导，且其导数可用下式计算.,证:设t取增量t,则相应中间变量,有增量u,v,则函数相应获得全增量z，由于函数z在点(u,v)具有连续的偏导数，全增量可表示为：,例如:,易知:,但复合函数,若定理中,说明:,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,推广：中间变量多于两个的情形.,例如,与定理相类似的条件下，有：,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,定理2:中间变量是多元函数的情形.,例如,二、多元函数与多元函数复合情形,函数u和v在点(x,y)具有对xy的偏导数，函数z在对应点(u,v)具有连续偏导数,则有复合函数z的两个偏导数都存在，且：,推广：中间变量多于两个的情形.,例如,与定理相类似的条件下，有：,定理3:,其实是2）的特殊情况，变量v与x无关.,由于v=(y)是一元函数.,函数u在点(x,y)具有对x、y的偏导数，函数v在点y可导，函数z在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z的两个偏导数都存在，且：,特殊：复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示f(x,(x,y)固定y对x求导.,表示f(x,v)固定v对x求导.,与,不同,例1.设,解:,例2.,解:,例3.设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见,引入记号,例4.设,f具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,例5.设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解:已知,极坐标系下的形式,(1),则,已知,注意利用已有公式,同理可得,二、全微分形式不变性,设函数,的全微分为,可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,例1.,例6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论u,v是自变量还是中间变量,作业P852;4;6;9;11;,思考与练习,解答提示:,P85题7,P85题7;8(2);P134题11,P85题
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