1999年全国数学卷-文

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷1至2页第卷3至8页共150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一选择题：本大题共14小题；第(1)(10)题每小题4分，第(11)(14)题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 如图，是全集，M、P、S是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )(A) (MP)S(B) (MP)S(C) (MP)(D) (MP)(2) 已知映射f：AB，其中，集合A=3，2，1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(3) 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，f(a)=b，ab0，则g(b)等于( )(A) a(B) a1(C) b(D) b1(4) 函数f(x)=Msin(x+)(0)在区间a，b上是增函数，且f(a)=M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(x+)在a，b上( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值M(5) 若f(x)sinx是周期为的奇函数，则f(x)可以是( )(A) sinx(B) cosx(C) sin2x(D) cos2x(6) 曲线x2+y2+xy=0关于( )(A) 直线x=轴对称(B) 直线y=x轴对称(C) 点(2，)中心对称(D) 点(，0)中心对称(7) 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )(A) 6cm(B) 6cm(C) 2cm(D) 3cm(8) 若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则(a0+a2)2(a1+a3)2的值为( )(A) 1(B) 1(C) 0(D) 2(9) 直线x+y2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为( )(A) (B) (C) (D) (10) 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为( )(A) (B) 5(C) 6(D) (11) 若sinatgactga(ab0)的右焦点为F1，右准线为l1若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是_(16)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_种(用数字作答) (17)若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_(18) 、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn n m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确一个命题：_三解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(19)(本小题满分10分)解方程31gx+4=0(20)(本小题满分12分)数列an的前n项和记为Sn，已知an=5Sn3(nN)求(a1+a3+a2n1)的值(21)(本小题满分12分)设复数z=3cos+isin求函数y=tg(argz)(00，a1)和直线l：x=1，B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四只给整数分数选择题和填空题不给中间分一选择题：本题考查基本知识和基本运算第(1)(10)题每小题4分，第(11)(14)题每小题5分满分60分(1) C (2) A (3) A (4) C (5) B (6) B (7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) D (14) C二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分(15) (16) 12 (17) (18) m，n，mn或mn，m，n三解答题(19) 本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力满分10分解：设，原方程化为 yy2+2=0 4分解得 y=1，y=2 6分因为 ，所以将y=1舍去由=2，得lgx=2，所以x=100 9分经检验，x=100为原方程的解 10分(20) 本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识满分12分解：由 Sn=a1+a2+an知an=SnSn1(n2)，a1=S1， 2分由已知an=5Sn3得 an1=5Sn13 4分于是 anan1=5(SnSn1)=5an，所以 an=an1 6分由 a1=5S13，得 a1=所以，数列an是首项a1=，公比q=的等比数列 8分由此知数列 a1，a3，a5，a2n1，是首项为a1=，公比为的等比数列 ( a1+a3+a5+a2n1)= 12分(21) 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力满分12分解：由得由z=3cos+isin得tg(argz)= 3分故 y=tg(argz) 6分 ， 9分当且仅当=tg()时，即tg=时，上式取等号所以当=时，函数y取得最大值 12分(22) 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力满分12分() 解：如图，连结DB交AC于O，连结EO 底面ABCD是正方形， DOAC又 ED底面AC， EOAC EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， 2分 EOD=45DO=a，AC=a，EO=asec45=a故 SEAC=a 2 4分() 解：由题设ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，得A1A底面AC，A1AAC又 A1AA1B1， A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线 6分 D1B面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO， D1BEO又O是DB的中点， E是D1D的中点，D1B=2EO=2a D1D=a异面直线A1B1与AC间的距离为a 8分() 解法一：如图，连结D1B1 D1D=DB=a， BDD1B1是正方形连结B1D交D1B于P，交EO于Q B1DD1B，EOD1B， B1DEO又 ACEO，ACED AC面BDD1B1， B1DAC， B1D面EAC B1Q是三棱锥B1EAC的高 10分由DQ=PQ，得B1Q=B1D=a 所以三棱锥B1EAC的体积是 12分解法二：连结B1O，则=2 10分 AO面BDD1B1， AO是三棱锥AEOB1的高，AO=a在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点(如右图)，则 所以三棱锥B1EAC的体积是 12分(23) 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力满分14分() 解：厚度为的带钢经过减薄率均为r0的n对轧辊后厚度为(1r0)n为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足(1r0)n，即 (1r0)n 4分由于(1r0)n0，0，对上式两端取对数，得nlg(1r0)lg由于lg(1r0)0，所以n因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊 7分()解法一：第k对轧辊出口外疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600(1r)k宽度 (其中r=20%)，而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为Lk(1r)4宽度因宽度相等，且无损耗，由体积相等得1600(1r)k=Lk(1r)4 (r=20%)，即 Lk=16000.8k4 10分由此得L3=2000(mm)，L2=2500(mm)，L1=3125(mm)填表如下轧辊序号k1234疵点间距Lk(mm)3125250020001600解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有1600=L3(10.2)，所以 L3=2000(mm) 10分同理 L2=2500(mm)L1=3125(mm)填表如下轧辊序号k1234疵点间距Lk(mm)3125250020001600 14分(24) 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力满分14分解法一：依题意，记B(1，b) (bR)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx设点C(x，y)，则有0xa，由OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等根据点到直线的距离公式得 4分依题设，点C在直线AB上，故有 6分由 xa0，得 将式代入代得，整理得y2(1a)x22ax+(1+a)y2=0 9分若y0，则(1a)x22ax+(1+a)y2=0 (0xa)；若y=0，则b=0，AOB=，点C的坐标为(0，0)，满足上式综上得点C的轨迹方程为 (1a)x22ax+(1+a)y2=0 (0xa) 10分 a1， (0xa) 12分由此知，当0a1时，方程表示双曲线一支的弧段 14分解法二：如图，设D是l