1997年全国大学生数学建模竞赛题目A题

1997年全国大学生数学建模竞赛题目A题 零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数（记作）由七个零件的参数（记作）决定，经验公式为：的目标值（记作）为1.50。当偏离时，产品为次品，质量损失为1000（元）；当偏离时，产品为废品，质量损失为9000（元）；零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为，B等为，C等为.七个零件的参数标定值的容许范围，及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：标定值容许范围C等B等A等0.075,0.125/25/0.225,0.3752050/0.075,0.12520502000.075,0.125501005001.125,1.87550/12,2010251000.5625,0.935/25100现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，七个零件参数标定值为，；容差均取最便宜的等级。请你综合考虑偏离造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少?B题 截断切割某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这 里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的） 详细要求如下： 1）需考虑的不同切割方式的总数。2）给出上述问题的数学模型和求解方法。3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、 19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a. r =1, e = 0; b. r =1.5, e =0; c. r =8, e =0; d. r =1.5; 2 = e = 15. 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。模型建立一符号说明：产品零件参数的标定值；：第i个零件的标定值；：第i个零件的标定值取值的上、下界；：产品零件参数的实际值；：产品性能参数的目标值；：产品性能参数的经验公式；即：产品性能参数的平均值；：产品性能参数的实际值；：第i个零件的相对容差（绝对值）；：第i个零件的容差，；： 第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本，； 第1，2，3个容差分别表示C，B，A等级；：变量，；, 如果第i个零件参数取第j个容差等级时取值1，否则为零；：第i个零件参数（的实际值）的均方差；：产品质量性能参数（的实际值）的均方差；：产品的生产成本；：产品的损失费用；：产品的生产成本与损失费用之总和。二关于零件参数的假设在第i个零件取定其标定值为后，由于在加工过程中存在许随机因素，刀具磨损，测量的误差等，因此，由中心极限定理知零件参数的实际值可看成是服从正态分布的随机变量，即并且设七个零件的加工过程是相互独立的。概率统计学告诉我们，如果某个随机变量服从正态分布则由“3”原则，有所以，当要求第i个零件取定其标定值为，第i个零件的容差为，则意味着于是即当第i个零件的标定值，容差等级（C，B，A，既第i个零件的相对容差）确定后，第i个零件参数的实际值所服从的正态分布就完全确定了。三关于产品参数的分布 当七个零件的标定值，容差等级（C，B，A，即每个零件的相对容差）确定后，为确定产品性能参数的分布规律与求产品质量的损失费用，现在讨论的分布情况。 由于产品性能参数的经验公式非常复杂，直接得出的精确分布有困难。对此有两种办法： 用随机模拟的方法在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值和任意一组容差等级，产生n组相互独立的正态分布随机数 其中七个零件参数中的每个 都是服从正态分布， 的随机数。由经验公式得到产品性能参数的n组（n很大）对应的样本值 ， 画出直方图，并用检验法检验是否服从正态分布，并确定的分布的有关特征数字。例如，取n = 10000时, 的直方图与是否服从正态分布的检验 具体见 ytest1 和 ytest2。 用理论方法推导在零件参数标定值的允许范围内任意取一组值和一组容差等级，记 ，表示产品性能参数的平均值。产生零件参数的实际值，由经验公式得到产品性能参数的一组对应的值因为， 所以即因为，服从相互独立的正态分布，所以也服从正态分布，并且对上式两边取方差，得于是产品性能参数也近似服从正态分布，即至于近似服从正态分布的误差有多大？ 我们后面再讨论。三目标函数由原问题要求，建模的目标函数应包括产品零件的的生产成本与质量损失费用两部分。 生产成本当零件的标定值与零件的容差确定以后，零件的的生产成本就完全确定了，为其中是第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本，；， 第1，2，3个容差分别表示C，B，A等级；而为变量，如果第i个零件参数取第j个容差等级时取值1，否则为零，并且，还要注意到对每个，对容差等级来说，不一定都能取到； 质量损失费用质量损失函数为。 由上一段，服从正态分布，即 其密度函数为 所以（）正品的概率 ；次品的概率 ；废品的概率 。再由标准正态分布分布函数与一般正态分布分布函数分布函数之间的关系：有 同理和 从而1个产品的平均质量损失费用其中为标准正态分布分布函数。于是整个优化问题模型为 （1.1） s.t. ，并且其中 。注记：模型中的函数是标准正态分布分布的分布函数。严格地说，这是带变量上下界约束与部分整数变量限制的、目标函数高度非线性的非线性规划问题。模型求解一模型I计算思想 （1.1）s.t. ，并且 其中 。模型中的函数是标准正态分布分布的分布函数。这个带变量上下界约束与整数变量的、目标函数高度非线性的非线性规划问题怎样求解呢？注意到（1.1）中，一当第i个零件的相对容差或第i个零件的容差：确定以后，零件的生产成本就确定了，即这时不论零件的标定值在标定值取值范围中怎么取，生产成本都是不变的，为。全部七个零件的相对容差只有种组合。对所有108种情况可以逐次去计算；实则上108种情况可以再简化。从零件参数的标定值及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：标定值容许范围C等B等为A等为0.075,0.125/25/0.225,0.3752050/0.075,0.12520502000.075,0.125501005001.125,1.87550/12,2010251000.5625,0.935/25100容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为，B等为，C等为.七个零件的参数标定值的标定值有一定的容许变化范围；可见，A等（为）是不可能取到的。用模拟的方法也可以确定，平均每个产品的生产成本一般在200-300之间，而损失费用为150上下。如此，A等成本费用中200与500的费用太高，所增加的成本费用是损失费用无法弥补的，从而是不可能取到的。于是容差等级总共不超过种。考虑到100费用仍然也是难以弥补的，事实上，还应该是种情况。确定了一种容差方案后，上述问题实质上化为 （1.2）s.t. 其中 ， 。已经确定。二、编程实现技术细节1. 容差等级、生产成本 与 标定值区间R=0.10 0.05; % 容差等级，最贵的一种舍去！cost=inf 25 % 选定容差以后的生产成本费用 20 50 20 50 50 100 50 inf 10 25 inf 25;A=0.075 0.125 0.225 0.375 0.075 0.125 0.075 0.125 0.125 1.875 12 20 0.5625 0.9375; % 标定值区间2. 怎么选定容差等级用i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7表示选定的容差等级，值都在1，2中选择，并且i1=2，i5=1，i7=2。 于是全部容差等级的循环是4重循环。从而选定的第k个零件的容差等级为r（ik）= R（ik）而对应的成本费用为cost(k,ik)所以，这个产品的生产成本为Cy = cost(1,i1) + cost(2,i2) + cost(3,i3) + cost(4,i4) + cost(5,i5) + cost(6,i6) + cost(7,i7)3. 损失费用的最小化计算 当标定值x与容差等级r取定后，损失费用是个最小值优化问题。其目标函数 与 约束条件是： （1.2）s.t. 其中，已确定，而标定值 是优化变量 ， 。已经可以计算。其中已经没有零件参数的实际随机值 x 了。目标函数中的 是正态分布的分布函数，Matlab中有现成的函数 normcdf 可以调用（比较 normpdf ）。4. 多元函数的偏导数（或梯度）怎么计算多元函数的偏导数（或梯度）与 海森矩阵 怎么计算，Matlab中有现成的函数 jacobian 可以调用，具体见 objgrad.m。5. 当时的计算程序编写方法（1）计算方法一：用Matlab中函数Fmincon来计算见 mydesign1 求解结果：零件参数标定值：x = 0.0750 0.3750 0.1106 0.1200 1.1309 12.0100 0.7977相应的容差等级：r = 0.0500 0.0500 0.0500 0.1000 0.1000 0.0500 0.0500零件总费用（成本+损失）：My = 4.2136e+005每个零件成本与损失：Cy = 275Ly = 146.3603程序求解运行时间：T = 16.0051（2）. 计算方法二：用网格搜索方法（3）计算方法三：用随机模拟的方法（4）计算方法四：用模拟退火算法（5）计算方法五：用遗传算法二初始方案费用计算1原设计方案费用计算-用Matlab见 mydesign2 零件参数标定值：x = 0.1000 0.3000 0.1000 0.1000 1.5000 16.0000 0.7500相应的容差等级：r =0.0500 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.0500零件总费用（成本+损失）：My = 3.0748e+003零件成本与损失：Cy = 200Ly = 2.8748e+003计算运行时间：T =0.63512原设计方案费用计算-用随机模拟见 mydesign3用随机模拟法(n=10000次随机试验)开始求原设计方案费用。请稍候-零件参数标定值：x = 0.1000 0.3000 0.1000 0.1000 1.5000 16.0000 0.7500相应的容差等级：r = 0.0500 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.0500产品性能指标参数y分布的统计标准差：sigmay = 0.1113产品统计正品率：p1 = 0.1154产品统计次品率：p2 =0.6242产品统计费品率：p3 =0.2604零件总费用（成本+损失）：My = 3.1678e+003零件成本与损失：Cy = 200Ly = 2.9678e+003计算运行时间：T = 4.0799模型检验与误差分析对建模的结果，我们往往要作结果检验与敏感性分析和误差分析等，以提高论文的完整性和理论层次（可以参考上海交通大学与中国科大的获奖论文）。1、敏感性分析首先，在最优标定值点处，因为实际参数值， 所以即从而即目标函数的梯度（绝对敏感性系数），除以函数均值，乘上每个参数的当前标定值，即为误差传递的敏感性系数。从而第i个参数的相对敏感性系数为，又grad_y = 24.1992 -3.3932 11.5039 -2.6496 -1.3243 -0.0623 -0.9385或敏感系数1234567估计值1.21250.85010.85000.21241.00000.50000.5000其次，在最优标定值点处，固定六个参数，仅让其中一个参数改变，由此得到的函数值的改变情况比较图形为：同样可见，函数y值的变化对参数x1，x3比较最为敏感，其次是x2，x4，x5，x7，而对x6是最不敏感的。2、误差分析（1）关于函数y的值的误差估计。当标定值确定以后，由于零件实际的参数值带有随机性，因而函数 y 的值与均值也有一定随机性误差。则对y取值的相对误差，也有用其中，来表示的。由此可以估计出当标定值、容差等级确定后，产品的性能指数函数值有多大的随机性波动。（2）关于函数y的值的非线性误差，以及所带