08-09学年第二学期高等数学期末试卷(有答案)

北京工业大学08级第二学期期末试卷北京工业大学2008-2009学年第二学期期末“高等数学(工) 2”课程试卷（A卷）参考答案考试方式：闭卷 考试时间：2009年 6月29日注：本试卷共四大题，满分100分一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母写在括号内.1. 若函数在点处间断，则必有 【 】 （A）不存在 （B）在点无定义 （C）在点不可微 （D）不存在2. 已知点是函数的一个极值点，其中是大于的实数，则 【 】（A） （B） （C） （D）3. 设曲面为上半球面，则曲面积分【 】（A） （B） （C） （D）4. 下列方程不是线性微分方程的是 【 】（A） （B）（C） （D）5. 若级数发散且，则下列结论正确的是 【 】（A） （B） （C） （D）发散二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填写在题中的横线上.6方程确定了隐函数，则在点处的全微分为 .7设空间区域由锥面与平面围成，则三重积分在球面坐标下的三次积分为 8. 设有向曲线的方程为，方向为顺时针方向。则曲线积分 .9. 设函数的以周期的傅立叶级数的和函数为，则= ，= 10. 函数的麦克劳林级数展式为 三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11设函数，其中具有二阶连续偏导数，求，12求曲面上平行于平面的切平面方程。13计算二次积分 （要求画出积分区域的草图）.14计算曲面积分 其中是锥面介于平面与平面之间部分的下侧. 15.已知幂级数，（1）求收敛域；（2）验证其和函数满足微分方程，并求其和函数.16.求微分方程的一个特解,使该解所对应的曲线过点,且在点处与直线相切.四、 证明题: 本题共1题，共6分.17. 设是由曲线，直线和所围成的平面区域，为连续函数，证明：二重积分=0.一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母写在括号内.1. 若函数在点处间断，则必有 【 C 】 （A）不存在 （B）在点无定义 （C）在点不可微 （D）不存在2. 已知点是函数的一个极值点，其中是大于的实数，则 【 A 】（A） （B） （C） （D）3. 设曲面为上半球面，则曲面积分【 B 】（A） （B） （C） （D）4. 下列方程不是线性微分方程的是 【 C 】（A） （B）（C） （D）5. 若级数发散且，则下列结论正确的是 【 D 】（A） （B） （C） （D）发散二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填写在题中的横线上.6方程确定了隐函数，则在点处的全微分为.7设空间区域由锥面与平面围成，则三重积分在球面坐标下的三次积分为.8. 设有向曲线的方程为，方向为顺时针方向。则曲线积分.9. 设函数的以周期的傅立叶级数的和函数为，则= 1 ，=.10. 函数的麦克劳林级数展式为三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11设函数，其中具有二阶连续偏导数，求，【 解 】 ，12求曲面上平行于平面的切平面方程。【 解 】设为曲面上的切点, 。所求切平面方程的法向量可取为，已知平面的法向量是。由所求切平面方程平行于已知平面，得。即，又。得切点坐标为和，所求切平面方程为或，即或。13计算二次积分 （要求画出积分区域的草图）.【 解 】 原式14计算曲面积分 其中是锥面介于平面与平面之间部分的下侧. 【 解 】补平面取上侧，则构成一封闭曲面，且是它所围区域的边界曲面的外侧。设，则且在的投影区域。于是 15.已知幂级数，（1）求收敛域；（2）验证其和函数满足微分方程，并求其和函数.【 解 】（1） 因 ，所以收敛域为；（2）因，所以。是一阶线性微分方程。通解为 又，代入通解，得。故，幂级数的和函数 16.求微分方程的一个特解,使该解所对应的曲线过点,且在点处与直线相切.【 解 】原方程的特征方程，特征根为。因此原方程的通解为。将代入，得，故，所求特解为。四、 证明题: 本题共1题，共6分.17. 设是由曲线，直线和所围成的平面区域，为连续函数，证明：二重积分=0.【 证 】用曲线将积分区域分成与两部分。其中