第一章线性空间和线性变换概况.ppt

矩阵分析,常新功邮箱：c_x_g电话教材及参考资料1矩阵分析，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版2MatrixMethodsinDataMiningandPatternRecognition，LarsEldn，TheSIAMseriesonFundamentalsofAlgorithms，2007.23FoundationsofDataScience，JohnHopcroft，RavindranKannan，Version11/4/2014预习、听课、复习、练习(每章至少5题)、阅读相关文献、考试,作为一门重要的数学工具，矩阵分析极大地推动了信息处理（机器学习、商务智能、数据挖掘、网络分析）的发展。,线性空间与线性变换矩阵与矩阵的Jordan标准形内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵矩阵分解范数、序列、级数矩阵函数函数矩阵与矩阵微分方程矩阵的广义逆Kronecker积,主要内容,线性空间与线性变换：以前我们谈集合和映射(自己到自己的映射称为变换，一般映射总可以化为变换)，现在谈空间与变换。一般我们指具有结构的集合称为空间。(代数)结构是指定义了某些运算的集合。如定义了线性运算(加和数乘)且运算满足一定性质的集合称为线性空间。第一章是全书的基础，重要概念有线性空间、线性子空间、线性变换及其矩阵表示、核空间，值空间、线性变换的特征值与特征向量。矩阵与矩阵的Jordan标准形：元素为的多项式的矩阵称为矩阵。特征矩阵E-A就是矩阵的特例。利用这个概念我们可以导出任一矩阵均相似于其Jordan标准形这一重要结果。特征值与特征向量在求Jordan标准形的过程中起到了重要的作用。而Jordan标准形有助于解决许多问题。,内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵：引入内积的线性空间称为内积空间(欧氏空间和酉空间)，内积将度量的概念引入到了线性空间中，这样我们就可以在其中求距离、夹角、极限等等。正规矩阵、Hermite矩阵、二次型是本章的主要概念。矩阵分解：矩阵分解讲解满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，非负矩阵分解和谱分解。范数、序列、级数：定义了范数，我们就可以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限，并讨论其收敛和发散性。,矩阵函数：以矩阵为变量的函数称为矩阵函数。Jordan标准形在此起了很重要的作用。函数矩阵与矩阵微分方程：将矩阵的概念推广，元素为任意函数的矩阵称为函数矩阵。这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分，并求解相应的微分方程。矩阵的广义逆：将逆矩阵的概念在矩阵不可逆的情形正在推广就得到了广义逆或伪逆矩阵的概念，从而使矩阵的求逆运算推广到了更广的场合。Kronecker积：Kronecker积是矩阵的另一种乘法，有广泛的应用。,第一章线性空间与线性变换,第一章线性空间与线性变换,1.1线性空间1.2基与坐标、坐标变换1.3线性子空间1.4线性映射1.5线性映射的值域、核1.6线性变换的矩阵与线性变换的运算1.7n维线性空间的结构1.8线性变换的特征值与特征向量1.9线性变换的不变子空间1.10矩阵的相似形,1.1线性空间,(a)数域,数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合。,任何数域都含有元素0和元素1；,典型数域：复数域C，实数域R，有理数域Q；,任意数域F都包括有理数域Q。,一、线性空间概念,(b)线性空间,给定非空集合V，数域F，如果满足：,在V中定义一个封闭的加法,加法交换律,加法结合律,零向量,负向量,在V中定义一个封闭的数乘运算,数对元素分配律,元素对数分配律,数因子结合律,单位向量,则称V是F上的线性空间(linearspace)。当F是实数域时，称V为实线性空间；当F是复数域时，称V为复线性空间。,阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良好性质，则构成一个线性空间。,例1实系数，次数不超过n的一元多项式的集合构成实数域R上的线性空间，但由所有次数为n的实系数多项式构成的集合V不是实数域R上的线性空间。,例2闭区间a,b上所有实连续函数集Ca,b=f(x)|f(x)是a,b上实连续函数.f,gCa,b,kR,(f+g)(x)=f(x)+g(x),(kf)(x)=kf(x).不难证明Ca,b满足线性空间的定义,故它是实线性空间。,例3所有n阶实向量的集合。Rn,例4所有n阶实矩阵的集合。Rnn,(c)线性空间的基本性质,零元素是唯一的；,2.任一元素的负元素是唯一的；,3.设，有,若，则或。,给定线性空间V中一组元素x1,xm，对于xV，若存在数域K中的一组数c1,cm使得,则称x是x1,xm的线性组合(linearcombination)，或称x能被x1,xm线性表示（线性表出）。,对于线性空间V中一组元素x1,xm，若存在数域F中的一组不全为零的数c1,cm使得,则称x1,xm是线性相关(linearlydependent)的。否则称x1,xm是线性无关(linearlyindependent)的。,二、向量的线性相关性,例5在Rn中，分别讨论下面两个向量组的线性相关性：,例6讨论下面2阶矩阵的线性相关性：,例7设V是R上全体实函数构成的线性空间，讨论V中元素组t，et，e2t的线性相关性。,1.一个向量线性相关的充要条件是它是零向量。两个以上的的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。,2.如果向量组x1,x2,xr线性无关，而且可以被向量组y1,y2,ys线性表出，则rs。,3.两个等价的线性无关的向量组，必含有相同数量的向量。,4.如果向量组x1,x2,xr线性无关，但x1,x2,xr,y线性相关，则y必可以由x1,x2,xr线性表出，且表法唯一。,线性空间V中线性无关向量组所含向量最大个数n称为V的维数(dimension)，记为dimV=n。当n是有限数时，称V为n维线性空间。当n=时，称V为无限维线性空间。,例1Pnx的维数为n+1，1,x,x2,xn是一个最大线性无关组。,例2微分方程的解集为,例3所有n阶实矩阵的集合Rnn是n2维线性空间，Eij=eiejT是一个最大线性无关组。,则dimY=2。,所有实系数多项式构成的线性空间是无限维的。,1.2基与坐标、坐标变换,(a)维数,(b)基与坐标,给定数域F上的线性空间V，x1,x2,xr是V中的r个向量。如果满足：1.x1,x2,xr线性无关；2.V中任意一个向量都可以由x1,x2,xr线性表出，则称x1,x2,xr是V的一组基(base)，并称xi为基向量。,线性空间的维数就是基中所含基向量个数。,称n维线性空间V的一组基x1,x2,xn为坐标系。,对任意xV，在该组基下的线性表示为,则称x1,x2,xn是x在该坐标系下的坐标(coordinate)或分量，记为(x1,x2,xn)T。,(c)基变换,假设x1,x2,xn是n维线性空间V的基，y1,y2,yn是V的另一组基，则有,称矩阵(matrix)C是一组基到另一组基的过渡矩阵,定理3：若P是从x1,x2,xn到y1,y2,yn的过渡矩阵，则从y1,y2,yn到x1,x2,xn的过渡矩阵是P-1。,定理4：假设从x1,x2,xn到y1,y2,yn的过渡矩阵是C，从y1,y2,yn到z1,z2,zn的过渡矩阵是B，则从x1,x2,xn到z1,z2,zn的过渡矩阵是CB。,定理2：过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵。,(d)坐标变换,假设n维线性空间V中的基x1,x2,xn到y1,y2,yn的过渡矩阵是C，即,x在两组基的坐标为(x1,x2,xn)T和(h1,h2,hn)T，,则有,或,例4给定n维向量空间中的两组基：,求从x1,x2,xn到y1,y2,yn的过渡矩阵C和从y1,y2,yn到x1,x2,xn的过渡矩阵B。并求向量a=(a1,a2,an)在y1,y2,yn下的坐标。,例5给定4维向量空间中的两组基：,求从x1,x2,x3,x4到y1,y2,y3,y4的过渡矩阵C。,例6已知R22中的两组基：,求从E11,E12,E21,E22到F11,F12,F21,F22的过渡矩阵，并求矩阵,在基F11,F12,F21,F22下的坐标。,1.3线性子空间,(a)线性子空间,设V1是数域F上的线性空间V上一个非空子集合，且对已有的线性运算满足以下条件：,1.如果x,yV1，则x+yV1；,则称V1是V的线性子空间(linearsubspace)或子空间。,线性子空间也是线性空间；,2.如果xV1，kF，则kxV1；,线性空间的平凡子空间：线性空间自身和0子空间；,线性子空间的维数小于等于线性空间的维数。,n元齐次线性方程组,的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间Rn的一个子空间，称为方程组的解空间。,方程组的解空间W的维数=n-秩(A)=n-rankA。,方程组的一个基础解系就是解空间W的一组基。,例1判断Rn的下列子集合哪些是子空间：,若为Rn的子空间，求出其维数与一组基。,V1是子空间，dimV1=n-1，一组基为：,(-1,0,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,-1,1)。,V2不是子空间，因为对于。,V3是子空间，dimV3=n-1，一组基为：,e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),en-1=(0,0,1,0)。,设x1,x2,xm是数域K上的线性空间V的一组向量，其所有可能的线性组合的集合,是V的线性子空间，称为由x1,x2,xm生成(或张成)的子空间,记为,如果x1,x2,xm是线性无关,则它们就是一组基。,定理5：设V1为n维线性空间V的一个m维子空间，x1,x2,xm为V1的一组基，则这组向量必定可扩充为V的一组基，即在V中必定可找到nm个向量xm+1,xm+2,xn，使得x1,x2,xn是V的一组基。,设ARmn的n个列向量为a1,a2,an，则,是Rm的线性子空间，称为矩阵A的值域(range)。,类似可定义AT的值域，它是Rn的线性子空间。,对于矩阵ARmn，集合,称为A的核空间(nullspace)，记为N(A)。它是Rn的线性子空间。它的维数称为A的零度，记为n(A)，,容易证明：rankA=dimR(A)=dimR(AT)。,例3设ARmn，证明：,例2已知，求A，AT的秩和零度。,dimR(AT)+dimN(AT)=m;,dimR(A)+dimN(A)=n;,n(A)-n(AT)=n-m。,(b)线性子空间的交与和,定理6：设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合,也为V的子空间，称之为V1与V2的交(intersection)空间。,定理7：设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合,也为V的子空间，称之为V1与V2的和(sum)空间。,V的两子空间的并(union)未必是V的子空间。,例如R2中的两条直线的并集就不是R2的子空间。,定理8(维数定理)：设V1、V2为线性空间V的子空间，则有：,子空间的和的维数不大于各子空间的维数的和。,(1),此时V1V2必包含非零向量。,(2),此时V1V2只包含零向量，即V1V2=0。,设V1、V2为线性空间V的子空间，若和空间V1+V2中的每个向量x的分解式,是唯一的，则称和V1+V2为直和(directsum)，记做。,(1)分解式唯一是指：若有,(2)分解式唯一，不是在任意两个子空间的和中都成立。,则有x1=y1，x2=y2。,例4设R22的两个子空间为：,(1)把V1+V2表示成生成子空间；,(2)求V1+V2的基和维数；,(3)求V1V2的基和维数。,定理9：设V1、V2为线性空间V的子空间，则下面五个条件等价：,(1)V1+V2是直和；,(2)零向量的分解式唯一；,(3)V1V2=0；,(4)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。,(5)若x1,x2,xs是V1的一组基，y1,y2,yr是V2的一组基，则x1,x2,xs,y1,y2,yr是V1+V2的一组基。,设V1,V2,Vs是线性空间V的子空间，若和空间V1+V2+Vs中的每个向量x的分解式,是唯一的，则称和V1+V2+Vs为直和，记做,定理10：下面四个条件等价：,(1)V1+V2+Vs是直和；,(2)零向量的分解式唯一；,(3),(4)dim(V1+V2+Vs)=dimV1+dimV2+dimVs。,1.1-1.3小结,线性空间的概念。例如Rn，Rnn，Pnx，Ca,b。线性无关、线性相关，基，坐标如果向量组x1,x2,xr线性无关，而且可以被向量组y1,y2,ys线性表出，则rs。线性子空间。空间自身，零空间，交空间，和空间，核空间，值域空间，。维数定理设V1、V2为线性空间V的子空间，则下面条件等价：,(1)V1+V2是直和；,(2)零向量的分解式唯一；,(3)V1V2=0；,(4)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。,(5)若x1,x2,xs是V1的一组基，y1,y2,yr是V2的一组基，则x1,x2,xs,y1,y2,yr是V1+V2的一组基。,1.4线性映射,(a)映射,设S、S是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则，通过这个法则对于S中的每一个元素a，都有S中一个唯一确定的元素a与它对应,则称为S到S的一个映射，记作:或。称a为a在映射下的象，而a称为a在映射下的原象，记作(a)a.,若都有则称为单射；,若都存在aS，s(a)=a，则称为满射；,既是单射又是满射的称为双射，或一一对应。,设1,2都是集合S到集合S的映射，若对S的每个元素a都有1(a)=2(a)，则称它们相等，记作1=2。,设是集合S到S1的映射，是集合S1到S2的映射，则映射的乘积ts定义为：,设,分别是集合S到S1，S1到S2，S2到S3的映射，则映射的乘积满足结合律：,映射的乘积不满足交换律，即ts不一定等于st。,线性映射定义：,设V1,V2是数域F上两个线性空间,映射:V1V2,如果对于V1的任何两个向量1,2和任何数F都有(1+2)=(1)+(2)(1)=(1)则称映射是由V1到V2的线性映射。称1为(1)的原像，(1)为1的像。例1设B=(bij)是mn实矩阵，若映射:RnRm由下式确定,()=BRm，Rn.则是线性映射。,(b)线性映射,线性映射的简单性质,(0)=0(k11+k22+kss)=k1(1)+k2(2)+ks(s)若1,2,s线性相关，则(1),(2),(s)线性相关若1,2,s线性无关，(1),(2),(s)不一定线性无关,例2设线性映射P:R3R2由P(x1,x2,x3)=(x1,x2),容易验证R3中的三个线性无关的向量(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)的像(1,1),(1,1),(1,0)是线性相关的。,从集合S到集合S的映射也称为变换。,设V为数域K上线性空间，若变换满足：,单位变换(恒等变换)：,则称T是线性空间V上的线性变换。,零变换：,数乘变换：,上述定义中的条件可以等价的写成：,(c)线性变换,例1考虑R2中把每个向量绕原点旋转q角的变换：,这是一个线性变换。,例2V=R3，aV是非零向量，考虑把每个向量投影到a上的变换：,这是一个线性变换。,例3考虑V=Pnx中的微分变换：,这是一个线性变换。,例4考虑a,b上的所有连续函数构成的线性空间Ca,b上的积分变换：,这是一个线性变换。,例5考虑V=PnxCa,b，易有DJ(f(x)=f(x)，但是JD(f(x)=f(x)-f(a)。,因此DJJD。,下列变换中，哪些是线性变换？,2在中，,1在中，,5复数域C看成是自身上的线性空间，,6C看成是实数域R上的线性空间，,1.设T是V上的线性变换，,2.线性变换保持线性组合及关系式不变，即若,则有：,3.线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组，即若x1,x2,xr线性相关，则T(x1),T(x2),T(xr)也线性相关。,但若T(x1),T(x2),T(xr)线性相关，x1,x2,xr未必线性相关。事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的。,设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为：,T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。,(c)线性变换的运算,设T是线性空间V的线性变换，定义它的负变换为：(-T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。,设T是线性空间V的线性变换，kK，定义数乘变换为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。,注：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的一个线性空间。,设T1,T2是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为：,T1T2仍然是线性空间V上的线性变换。,注：线性变换的乘积不一定满足交换律。,例6设A,BRnn是两个给定的矩阵，定义Rnn上的两个线性变换：T1(X)=AX，T2(X)=XB，则容易验证T1T2=T2T1。,若定义：T1(X)=AX，T2(X)=BX，则只有当AB=BA时，T1T2=T2T1。否则不成立。,设T为线性空间V的线性变换，若有V上的变换S使得：TS=ST=Te，则称T为可逆变换，并称S为T的逆变换，记为S=T-1。,1.可逆变换的逆变换仍然是线性变换。,2.线性变换T可逆当且仅当T是一一对应。,4.设x1,x2,xn是线性空间V的一组基，T是V上的线性变换，则T可逆当且仅当T(x1),T(x2),T(xn)也是V的一组基。,3.可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。,5.若T1,T2都是可逆变换，则,设T为线性空间V的线性变换，n是自然数，定义,称之为T的n次幂。这仍然是线性变换。,1.规定当n=0时，T0=Te(单位变换)。,4.一般的，(TS)nTnSn。,2.容易验证TmTn=Tm+n，(Tm)n=Tmn。,3.当T可逆时，定义负整数次幂为：T-n=(Tn)-1。,设T为线性空间V的线性变换，并设,则变换,也是线性变换，称f(T)为线性变换T的多项式。,即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律。,1.在Px中，若h(x)=f(x)+g(x)，p(x)=f(x)g(x)，则,2.对任意f(x),g(x)Px，有,(d)线性变换在给定基下的矩阵表示,设x1,x2,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上的线性变换。,对于V中的任意一个向量x，必存在数域K中的一组数k1,k2,kn使得,从而有,这表明，T(x)由T(x1),T(x2),T(xn)完全确定。,设x1,x2,xn是n维线性空间V的一组基，T1,T2是V上的两个线性变换。,容易证明，若T1(xi)=T2(xi)，i=1,2,n，则T1=T2。,这表明，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定。,定理1：设x1,x2,xn是n维线性空间V的一组基，对于V中的任意n个向量y1,y2,yn，存在唯一的线性变换使得,设x1,x2,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上的线性变换。基向量的象可以被基线性表出，设,写成矩阵形式即有,其中矩阵,称为线性变换T在基x1,x2,xn下的矩阵。,1.给定V的基和线性变换T，则矩阵A是唯一的。,2.单位变换在任意一组基下的矩阵都是单位矩阵；,例6设线性空间R3中的线性变换T为：,求T在标准基e1,e2,e3下的矩阵。,3.零变换在任意一组基下的矩阵都是零矩阵；,4.数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵。,例7设Pnx中的线性变换T为：T(f(x)=f(x)，,基I：,基II：,求T在两组基下的矩阵。,定理2：设x1,x2,xn是数域K上n维线性空间V的一组基，在这组基下，V上的每一个线性变换都与Knn中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：,线性变换的和对应于矩阵的和；,线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；,线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；,可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。,推论1：设T是线性空间V的一组基x1,x2,xn下的矩阵，则线性变换f(T)在同一组基下的矩阵是：,定理3：设线性变换T在基x1,x2,xn下的矩阵为A，xV在基x1,x2,xn下的坐标为(x1,x2,xn)T，T(x)在基x1,x2,xn下的坐标为(h1,h2,hn)T，则,(b)线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,定理4：设V上的线性变换T在基I下的矩阵为A，在基II下的矩阵为B。从基I到基II的过渡矩阵为C，则有:,设A、B为数域K上的两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵PKnn，使得B=P-1AP，则称矩阵A与B是相似(similar)的，记做AB。,相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：,1.反身性：AA；,2.对称性：若AB，则BA；,3.传递性：若AB，BC，则AC。,定理5：线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵。,相似矩阵的运算性质：,即，,2.若B=C-1AC，则Bm=C-1AmC。,1.若则,3.若B=C-1AC，f(x)Px，则f(B)=C-1f(A)C。,例8设x1,x2是线性空间V一组基，线性变换T在这组基下的矩阵为,y1,y2是另一组基，且,(1)求T在y1,y2下的矩阵B；(2)求Ak。,例9在R3中定义线性变换T如下：,分别计算T在标准基x1,x2,x3和基y1,y2,y3下的矩阵。,1.5特征值和特征向量,(a)线性变换的特征值和特征向量,设T是数域K上线性空间V的一个线性变换，若存在K中的一个数l，和V中的一个非零向量y，使得,则称l为T的特征值(eigenvalue)，y为T的属于l的特征向量(eigenvector)。,1.几何意义：特征向量经过线性变换后保持方向不变或相反，或变为零向量。,2.若y是属于l的特征向量，ky也是特征向量。,3.若特征向量给定，则特征值被唯一确定。,(b)矩阵的特征值和特征向量,取定n维线性空间V的一组基x1,x2,xn，并设T在这组基下的矩阵是A。,假设l是T的一个特征值，y是对应的特征向量。设y在基x1,x2,xn下的坐标为(x1,x2,xn)T(=x).,则Ty在这组基下的坐标是Ax。另一方面，ly在这组基下的坐标是lx，于是Ty=ly就变成了,满足上式的l称为矩阵A的特征值(eigenvalue)，非零向量x称为属于l的特征向量(eigenvector)。,线性变换的特征值问题转化为矩阵的特征值问题。,定理6：l是矩阵A的特征值的充分必要条件是：det(lI-A)=0。,设A是n阶矩阵，把l看成参数，则。,是关于l的n次多项式。称为特征多项式。,考虑复数域C，n次多项式刚好有n个根(重根按重数记)，因此n阶矩阵刚好有n个特征值。,矩阵A的所有特征值构成的集合称为A的谱集(spectrum)，记为l(A)。,例10计算下列矩阵的特征值和特征向量。,假设l0是A的一个特征值，而且它刚好是特征多项式|lI-A|的m重根，则把m称为l0的代数重数(algebraicmultiplicity)。,把dimN(l0I-A)(=n-rank(l0I-A)称为l0的几何重数(geometricmultiplicity)。,可以证明，1几何重数代数重数n。,例11计算下列矩阵的特征值和特征向量。,如果特征值l0的代数重数大于几何重数，则称是l0是亏损的(defective)。此时对应线性无关的特征向量的个数小于特征值的重数。,如果矩阵A有一个特征值是亏损的，则称A是亏损的(defective)。否则(即所有特征值半单)称A是非亏损的(nondefective)。,如果特征值l0的代数重数等于几何重数，则称是l0是半单的(semi-simple)。此时对应线性无关的特征向量的个数等于特征值的重数。,特别的，如果特征值l0的代数重数是1，则称是l0是单的(simple)。此时刚好有一个线性无关的特征向量。,例11若l是A的一个特征值，则3l是3A的一个特征值；l2是A2的一个特征值；1/l是A-1的一个特征值；l+3是A+3I的一个特征值；f(l)是f(A)的一个特征值,则称X为A的不变子空间。,例12设矩阵A满足A2=A，证明矩阵A的特征值只能是0或1。,给定ACnn，若存在XCnm(mn)，满足,例13若X是A的不变子空间，则必存在BCmm满足AX=XB，且,特征多项式,根据多项式根与系数的关系有：,1.A的所有特征值的积=detA=|A|；,对于给定的矩阵A，它的所有对角元的和称为A的迹(trace)，记做tr(A)。,2.A的所有特征值的和=a11+a22+ann。,定理7：tr(AB)=tr(BA)。,定理10：属于不同特征值的特征向量一定线性无关。,定理11：矩阵A的所有特征值都是半单的，当且仅当A相似于对角矩阵。此时称矩阵A是可对角化的(diagonalizable)。,定理8：若AB，则tr(A)=tr(B)。,定理9：若AB，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。,注：有相同特征多项式的两个矩阵不一定相似。,附录：代数结构的概念,定义1称代数结构为半群（semigroups），如果运算满足结合律。代数系统和、和、和都是半群，和不是半群。定义2称代数结构为群（groups）,如果（1）为一半群。（2）中有幺元e。（3）中每一元素都有逆元。,(1)对于任意的a,b,cG，有a*(b*c)=(a*b)*c；(2)存在一元素eG，使得对于任意的aG，有e*a=a*e=a；(3)对任意aG，相应存在一元素a-1G，使得a-1*a=a*a-1=e,含幺可逆半群即为群。设为一群，若运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群。、定义3称代数结构为环（ring），如果（1）是阿贝尔群（或加群）。（2）是半群。（3）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,cR，满足a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,定义4若非空集合F上定义了加和乘两种运算，且满足：1)F关于加法构成阿贝尔群，加法幺元记为02)F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法幺元记为13)加法和乘法之间满足分配律则F与这两种运算构成域。每一个非零元都可逆的含幺元的交换环。如实数域复数域有理数域,附录：线性方程组解的结构,齐次线性方程组设A是以上方程组的sn阶系数矩阵，x是n维列向量，则上述方程组可简记为：Ax=0,定义：若Ax=0的t个解x1,x2,xt满足：(1)x1,x2,xt线性无关(2)Ax=0的任一解均可由x1,x2,xt线性表示则称x1,x2,xt是Ax=0的一个基础解系。定理：若r(A)=rn，则Ax=0一定有基础解系，且基础解系中解的个数为n-r，其中n是方程组所含未知数的个数，也是A的列数。如何求基础解系：用初等变换将A化为行最简矩阵；再转为等价的同解方程组，自由变量在