计算机控制系统第二章3

,将连续的控制对象用适当的方法（一般用零阶保持器法）离散化后，系统完全变成离散系统，因此可以用离散系统的设计方法直接在z域进行控制器的设计。包括（1）解析设计方法（2）最小拍控制设计方法,2.4离散化设计方法,第2章常规控制规律的设计,一、解析设计法,直接数字设计方法,由闭环传递函数H(z)求得D(z)。,D(z),G(z),+,_,r(k),e(k),y(k),u(k),由上图，可以求得闭环系统传递函数模型为：,（1）,于是得到：,（3）,闭环系统误差传递函数模型为：,（2）,问题：,（1）控制器的可实现性（2）闭环系统的稳定性（3）根据性能指标给出H(z),1、可实现性,设,（4）,其中G(z)为G(s)经零阶保持器法得到的Z传递函数。,显然有：,（5）,设,（6）,要求,（7）,意义：,（8）,K时刻的控制量u(k)e(k),e(k-1)以及u(k-1),u(k-2),由（1）、（4）、（6）式，得到,设是式（8）中分子与分母相消的因子多项式，有,（9）,（10）,（11）,由（8）、（9）式，得到,因此有,（12）,由（10）式，得,（13）,将（12）、（13）式代入（7）式，得,（14）,式（14）给出了H(z)可实现时物理上应满足的条件，即若对象传递函数的分母比分子高d阶，则设定H(z)时也必须至少分母比分子高d阶。也就是说，若在对象中有d拍延时，则在最后的闭环系统中，也必定至少有d拍的延迟。,2、稳定性,设,（15）,其中和分别表示所有根在单位圆周和单位圆外的因子多项式，和分别表示所有根在单位圆内的因子多项式。,同理,得到闭环系统传递函数为,则,（17）,必须被Am(z)-Bm(s)抵消,即误差传递函数He(z)的零点抵消。,必须被Bm(s)抵消。,于是有,（16）,为使系统稳定，故H(z)满足如下条件：,（1）中应包含因子,（2）中应包含因子,即包含在误差传递函数的零点表达式中,因为,（18）,上述条件说明，为了使系统稳定，D(z)不仅不能抵消G(z)中不稳定的零极点（即单位圆周上及单位圆外的零极点），甚至也不能抵消单位圆内那些很靠近单位圆周的零极点。因此实际上不是以单位圆作为划分和以及和的分界域，而是以如图中的D域作为分界域。,Im,Re,Z平面,D,3、静态精度的要求,（1）对于阶跃输入，稳态误差为：,于是有,（19）,若要求稳态误差为零，则系统应为I型系统，有,（20）,（2）对于斜坡输入，求，则H(z)要求条件：,即,（21）,（型系统）,已知，可以求出H(z).,若要求闭环系统的稳态误差为零，则系统应为II型系统，于是有,（22）,（3）对于加速度函数输入，求，则H(z)要求条件：,即,（23）,（型系统）,已知，可以求出H(z).,若要求闭环系统的稳态误差为零，则系统应为III型系统，于是有,（24）,满足静态精度的方法：在对象传递函数模型G(z)没有不稳定极点的情况下，通过给定闭环传递函数分子多项式Bm(z)来实现。,的选取：,（1）阶跃输入时：,可以选为常数,（2）速度输入时：,可以选为一阶因子式,（2）加速度输入时：,可以选为二阶因子式,4、动态性能的要求,（1）满足动态性能要求，需根据对系统频带及阻尼的要求给出H(z)的主导极点。（2）根据其他方面的要求，如可实现性、稳定性及静态精度等，再附加一些非主导的零极点来决定其中的参数。,对于系统,A、有限拍控制，取,（22）,其中：,（1）可实现性：,（2）稳定性：,中包含,（3）静态精度：H(z)中的所有极点都在原点，因而系统可在有限拍时间内结束过渡过程。,B、一阶主导极点模型,d、r同上，为一阶主导极点。,取,T-采样周期，Tm-一阶模型时间常数,需适当选取使系统满足静态精度的要求。,C、二阶主导极点模型,例子：,D(z),G(s),+,_,r(k),e(k),u(k),y(t),ZOH,u(t),T,y(k),对象结构：,其中：,希望满足的性能指标为：,（1）速度品质系数（2）阶跃响应的超调量（3）过渡过程时间秒,要求设计控制器D(z)。,设计：,（1）利用零阶保持器法，将G(s)化为G(z)。,（1）,（2）采用二阶主导极点模型,（满足要求）,由二阶主导极点模型，得到,（2）,（3）本例中，,从而由(26)式，得到,从而：,（3）,由H(1)=1，得到,（4）,对要求，即（21）式，有,（5）,联立（4）、（5）式，得到,从而,（6）,（4）求D(z),（5）验证：,（a）D(z)抵消了G(z)的零点z=-0.967，极点z=0.905；,（b）G(z)中极点z=1未被抵消，中包含因子(z-1)。,（6）仿真。,（a）输出y满足性能指标的要求（采样点）（b）采样点之间有波纹（c）控制量u振荡严重,原因分析：,D(z)抵消了G(z)中靠近单位圆的零点z=-0.967。,解决方法：,z=-0.967不能被抵消。,令，重新设计控制器D(z)。,（7）闭环系统传递函数：,（8）重复前述步骤，求得,从而,（9）验证：D(z)只抵消了G(z)的一个极点z=0，而没有抵消G(z)的零点,（10）仿真研究。,小结：,解析设计方法的优点：,（1）简单直接,（2）考虑可实现性、稳定性、静/动态精度，给出H(z),缺点：控制器复杂。,和另外一个极点z=1。,二、最少拍控制设计法,系统在典型输入作用下设计控制器，使系统的调节时间最短，或者系统在有限个采样周期内结束过渡过程。最少拍控制实质上是时间最优控制，系统的性能指标是调节时间最短（或尽可能短）。该设计采用直接离散化的设计方法。,1、最小拍有波纹控制系统设计,设对象G(z)为经过零阶保持器离散后的模型：,（1）,其中,通常，无延迟环节时m=1；有延迟环节时m1。,（1）考虑系统的可实现性,（2）考虑系统的稳定性,（2）,（3）,（4）,（3）满足系统静态指标的要求,在典型输入的作用下，系统的稳态误差为零。,（5）,设输入信号为：,相应的Z变换为：,（6）,（7）,为使系统的稳态误差为零，要求,（8）,因此有如下q个方程等价：,（9）,综合考虑稳定性与静态指标时，其误差传递函数模型为,（稳定）,（稳态误差）,于是,（4）满足动态指标的要求,系统以最快的速度达到稳定，即H(z)中项数最少，因此有：F1(z)F4(z)=1,于是有,（10）,q+v个待定系数由下式确定：,（11）,于是控制器为：,（12）,G(z)中有单位圆上的极点时，设极点阶数为v1，此时,稳定性条件：,满足静态指标的条件：,待定系数的个数发生变化，此时取,（13）,例2.5,针对速度输入设计最小拍控制器。,解：（1）应用零阶保持器法求G(z):,（2）确定相关参数，求闭环系统传递函数,对于速度输入，有q=2,（3）,由于,于是,（4）分析控制器与系统的输出情况：,图2.11最少拍有波纹系统波形(a)控制器输出波形(b)系统输出波形,2、最小拍无波纹控制系统设计,系统有波纹原因：系统进入稳态后，加到被控对象上的控制信号还在波动，则稳态过程中系统输出就有波纹，因此要使系统在稳态过程中无波纹，就要求稳态时的控制信号为常数。,控制信号U(z)：,如果经过n个采样周期达到稳态，无波纹系统要求u(n)、u(n+1)相等。,（14）,于是得到：,（15）,由于,得到,（16）,（17）,比较：,于是得到：,（18）,（19）,最小拍无波纹控制必须满足的条件是：,（1）被控对象G(z)中必须含有足够的积分环节（q-1阶）；（2）满足有波纹控制的所有约束条件；（3）H(z)包含对象G(z)中的所有零点。,原来：,现在：,w为所有零点,u为单位圆上或圆外的零点,于是闭环系统传