第九章拉普拉斯变换

第九章拉普拉斯变换TheLaplaceTransform,掌握拉氏变换定义及其基本性质；牢记常用典型信号的拉氏变换；掌握运用拉氏变换分析LTI系统的方法；掌握系统的典型表示方法：H(s)、h(t)、微分方程、模拟框图、信号流图、零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法。能应用拉氏变换分析具体电路。,9.0引言Introduction,连续时间对应的复频域是用直角坐标表示的复数平面，简称为S平面或连续时间复频域（s域）.,S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号,整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。,S平面,S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指数信号集,9.1拉氏变换TheLaplaceTransform,一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：,记作：,或,几个典型信号的拉氏变换,拉普拉斯变换的收敛域与零极点,收敛域：RegionofConvergence(ROC),一般把使积分收敛的s值的范围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。,零极点：PolesandZerosofX(s),只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)就一定是有理的,具有如下形式：,N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。,使N(s)=0的根为X(s)的零点，在s平面上用“o”表示。,使D(s)=0的根为X(s)的极点，在s平面上用“”表示。,例,请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?,9.2拉氏变换收敛域的性质：TheRegionofConvergenceforLaplaceTransform,性质1:拉氏变换收敛域的形状：,X(s)的ROC在s平面内由平行于j轴的带状区域所组成。,性质2：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极点。,性质3：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就是整个s平面。,性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果这条线位于ROC内，那么的全部s值都一定在ROC内。,Res,性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果这条线位于ROC内，那么的全部s值都一定在ROC内。,性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果这条线位于ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成，直线位于带中。,性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的ROC是被极点所界定或延伸到无限远。,性质8：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若x(t)是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极点的右边；若x(t)是左边信号，则其ROC在s平面上位于最左边极点的左边。,例,求其可能有的所有的收敛域,例：已知一绝对可积的信号x(t)有一个极点在s=2，回答以下问题：,（a)x(t)可能是有限持续期吗？（b)x(t)是左边的吗？（c)x(t)是右边的吗？（d)x(t)是双边的吗？,答案：(b)（d)可能,有限长时间信号,整个S平面,左边时间信号,某一左半平面,右边时间信号,某一右边平面,双边时间信号,某一带状收敛区域,例：有多少个信号在其收敛域内都有如下所示的拉氏变换：,例：,求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。,解：,9.3拉氏反变换TheInverseLaplaceTransform,信号x(t)的拉氏变换为：,利用傅立叶反变换：,即可从拉氏变换中恢复x(t)：,两边同乘以,拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。,拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于虚轴的一条自下而上的直线。,一、求解拉氏反变换的方法,1、留数定理；,2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未知的拉氏变换，或它们的反变换。,3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分式展开法。,二、部分分式展开法求解拉氏反变换,思路：,单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的有理函数，其收敛域也是单纯的。,单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每一项复指数分量相应的收敛域的交集。,部分分式展开的第一步是把分母D(s)进行因式分解，然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。,一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次(有理真分式):,其中：,例：,对X(s)进行部分分式展开：,X(s)的零极点图和ROC如图所示：,分别对应什么时间信号？,例：,对X(s)进行部分分式展开：,X(s)的零极点图和ROC如图所示：,设：,对X(s)进行部分分式展开：,X(s)的零极点图和ROC如图所示：,例：,求x(t),解：,先转换为真分式：,故：,例：已知：,求x(t),将X(s)进行部分分式展开：,二、二阶和高阶极点,当N(s)0有r重根，其余为单根的分解式为：,例：已知：,求x(t),将X(s)进行部分分式展开：,故：,则：,9.4由零极点图对傅立叶变换进行几何求值,目的：揭示信号和系统的复频域表示与其频域特性间的关系。,对于系统函数是有理函数的因果稳定LTI系统，其收敛域包括s平面虚轴，那么系统的频率响应H(j),如果有理系统函数H(s)表示为,分别为零点和极点,这类因果稳定LTI系统的频率响应为：,零点指向点j的向量为零点向量，记作,极点指向点j的向量为极点向量，记作,幅频响应H(j)：,例：,求其幅频特性与性与相频特性曲线,例：根据零级点图，利用傅立叶变换的几何求值方法，确定以下拉普拉斯变换的模特性近似为低通、高通或者带通：,9.5拉氏变换的性质,一、线性,则,ROC但有时候会扩大,例：,已知：,求：X(s),解：,二、时移性质,例：,求：X(s),解：,三、S域平移,例：,求：X(s),解：已知,则,同理：,四、时域尺度变换,五、共轭,注：若x(t)为实函数，如果X(s)有一个极点或零点为复数在s=s0处，那么X(s)也一定有一个复数共轭的极点或零点，且对于X(s)的部分分式展开式中的系数也互为共轭。,六、卷积性质,那么,七、时域微分,但ROC有可能扩大,八、s域微分,九、时域积分,例：求,的拉氏变换,解：,故：,推广：,及：,故：,例：,关于一个拉氏变换为X(s)的实信号x(t)给出下列条件：,1、X(s)只有两个极点；,2、X(s)在有限s平面没有零点；,3、X(s)有一个极点在-1+j；,4、e2tx(t)不是绝对可积；,5、X(0)=8,求X(s),解：由（1）,由（2）,由（3）,由（4）,不含j轴,由（5)得：,十、初值和终值定理,则,若t0-具有相同函数表达式，而在t0-时却并不相同的任何信号，都有完全一样的单边拉氏变换，但他们的双边拉氏变换却各不相同。,对于任何因果时间函数，单边拉氏变换起到了双边拉氏变换相同的作用。,二、性质,P517表9.3。,单边拉氏变换不同于双边拉氏变换的性质：,时域微分,单边拉氏变换的时域微分性质,例：已知一系统的微分方程为：,求分别输入,时的输出y(t)。,解：,解：,(1),对方程两边同时进行单边拉氏变换：,当元件初始储能为零时：,三、应用拉氏变换分析电路,例：在图所示电路中加入一个单位阶跃电压u(t)。求输出电压vR(t)的初值vR(0)和终值vR()。,解：,利用初值定理：,利用终值定理：,Example:已知因果电路LTI系统的电路图如图所示。其中,，,（1）画出电路的复频域模型，并求系统函数,（2）求系统的频率响应函数,，并判断系统的幅频特性近似为哪种滤波器。,解：,（2）,则：,且随着的增加，,即系统为高通滤波器。,（1）,增加,Example:已知因果电路LTI系统的电路图如图所示。求：,（1）求系统函数,（2）求系统的频率响应函数,，并判断系统的幅频特性近