光学小波变换(第8讲).ppt

2020/5/3,1,光学小波变换,2020/5/3,2,小波变换的概念-1,小波变换的概念是1974年由法国从事石油地质勘探信号处理的工程师J.Morlet和A.Grossmann在分析处理地震数据时首先引进的,并成功地运用于地震信号的分析。后来法国数学家Y.Meyer从理论上对小波作了一系列研究,极大地丰富了现代调和分析的内容。1988年Arneodo及Grasseau等人将小波分析运用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长现象。,2020/5/3,3,小波变换的概念-2,小波变换是一个时间和频率的局域变换，它能有效地从信号中提取信息，同时通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。,2020/5/3,4,小波变换的概念-3,信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波变换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理归结为信号处理问题。对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而小波变换分析就是一个对非稳定信号进行处理的有力工具。,2020/5/3,5,小波变换分析的应用领域,1,数学；2,信号分析、图象处理；3,量子力学、理论物理；4,军事电子对抗与武器的智能化；5,计算机分类与识别；6,音乐与语言的人工合成；7,生物医学工程成像与诊断；8,地震勘探数据处理；9,大型机械的故障诊断等方面等等。,2020/5/3,6,数学、图像处理、生物医学工程领域的应用：,数学领域：用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。生物医学工程领域：成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。,2020/5/3,7,小波变换分析,在信号处理上,富里叶变换分析的一个不足之处是它不能作局部分析,小波变换分析正好能弥补这一不足。小波变换分析从有限个具局部性与振动性的小波函数出发,通过平移与展缩使得函数的分析在时域和频域两方面同时局部化,因而为各类函数空间的分析提供了较传统富里叶分析更有力的工具。,2020/5/3,8,傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:,函数图像g(x,y)的傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:,2020/5/3,9,一维信号的傅里叶变换和逆变换,为方便分析采用一维的信号:,(1),(2),2020/5/3,10,快速过程或暂态过程Short-timeFouriertransform,(1)式表示信号g(x)中频率为fx的成份含量为G(fx),x可以是时间变量或空间变量,G(fx)则分别表示时间频率或空间频率的成份含量.如果g(x)是一个时域或空域中分布在()中的恒稳过程或稳定分布,则傅里叶分析会给出近乎完美的结果,然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电脉冲等。这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰减到零，这是一种快速过程或称暂态过程。,2020/5/3,11,小波信号,信号S(t)在某一时刻突然出现，但很快衰减到零，是暂短的信号，称为小波信号。许多光学信号，例如远处空中的目标、显微镜下的物体、被鉴别的指纹等等。它们不显著为零的分量只分布在有限的区域内，即是暂态过程。我们仅对内的时间信号感兴趣。,0,t,S（t）,2020/5/3,12,WEVELET,2020/5/3,13,短时傅里叶变换（STFT）,为提取局部信号g(x)的信息，引入局部化变换的概念,其有两个要素：1，被分析的区间要有一定的宽度，仅对它附近的信息进行处理；2，被分析的区间有一个中心坐标xc，当xc改变时，就可提取不同的信息。为了实现局部化,在傅里叶变换中加入一个窗函数w(x):,（3）,2020/5/3,14,Short-timeFouriertransform,在频域中的表达式:W和G分别是w和g的傅里叶变换.只要有足够快的衰减速度,窗函数就是一个局部化的函数。（3）式定义的变换即称为短时傅里叶变换(short-timeFouriertransform;STFT)。特点是频率变量f和坐标变量x0同时出现在变换函数中。为卷积算符.,2020/5/3,15,小波变换的定义和性质,1,小波变换的定义母函数h(x)的基本小波函数ha,b(x)定义为:式中b称为小波变换的位移因子,a0称为伸缩因子.,(5),2020/5/3,16,小波宽度的伸缩,右图可见当a增大时,小波的宽度加宽(膨胀);当a减小时,小波的宽度变小(收缩).(5)式表明基本小波是母函数经平移和缩放的结果.基本小波即简称为小波(Wavelet),1,0.5,2020/5/3,17,信号函数的小波变换-1,信号函数g(x)的小波变换定义为小波ha,b(x)和g(x)的内积,即ha,b(x)的复共轭和g(x)的乘积的积分:,2020/5/3,18,信号函数的小波变换-2,上式还可写成:即小波变换可表为缩放后的母函数与信号函数的相关,母函数的中心位移则是相关函数的变量.由于相关运算比较容易用光学相关器进行,因此小波变换可以用我们熟悉的光学相关器来实现.,2020/5/3,19,信号函数的小波变换-3,并非任何函数都可以作为小波变换的函数,h(x)必须在时衰减到零,实际使用的小波变换的母函数h(x),当时迅速衰减,使它不显著为零的分量只存在于一个很小的区间内,这正是小波名称的由来.,2020/5/3,20,实现一维小波变换的光学系统,光学信息处理器具有高度的并行处理性能,s,L1,g(x),L2,L3,SLM1,SLM2,H(am,u),Z,2020/5/3,21,SLM1上输入信号g(x),经L2变换,在uv平面上形成它的傅里叶变换谱G(u),uv平面上放置SLM2,它被分成M个沿u方向的带状区域,这些带状区域中分别显示具有不同伸缩因子am的基元函数h的傅里叶谱H*(amu),m=1,2,3,-M.H(amu),m=1,2,3-M构成多通道小波变换匹配滤波器,在L3的后焦面上放置CCD器件.相应形成带状通道像,即小波变换的结果.,2020/5/3,22,Haar小波变换和图形边缘探测,Haar变换的数学形式Haar小波函数ha,b(x)是以x=1/2为中心的反对称函数,在区间0,1以外皆为零,是典型的小波.它有三个值:+1,-1,0易用光学方法实现.,0,1,1,x,ha,b(x),2020/5/3,23,h(x)的傅里叶变换,h(x)的)傅里叶变换为H(),H(),0,2020/5/3,24,Haar小波变换和边缘探测,Haar小波变换是信号函数与Haar函数经伸缩后的母函数相关的结果.其中,2020/5/3,25,对于一个给定的伸缩因子a,Haar小波变换的作用是:,1,在小波基元函数ha,b(x)的正、负半周内对信号进行不加权的积分，这事实上是一个平滑或平均的过程。2，将正、负半周的积分值相减。以上两个作用的综合结果，是在平均的意义下求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘。,2020/5/3,26,下图是对一个带有低频噪声方波进行Haar小波变换的结果,小波变换作为位移因子b的函数,在方波的两个边缘呈现一对峰,极值恰恰指示了边缘的位置.,2020/5/3,27,高频噪声的情况,2020/5/3,28,方波同时有高、低频噪声,2020/5/3,29,小波变换对信号的奇异点非常敏感,小波变换对信号的奇异点非常敏感，当信号在某一时刻发生突变时，该信号的小波变换在一定的尺度范围内均会在信号突变处出现峰值，并且呈现出与噪声截然不同的特性。利用这一特点，通过选择合适的尺度参数，可以在强噪声背景下，准确地检测到突变信号。有效信号突变点所对应的小波变换模极大值具有沿尺度传递的特性；而随机噪声信号的小波变换模极大值将随着尺度的增加而迅速衰减。,2020/5/3,30,对信号进行多尺度分析,小波分析可以对信号进行多尺度分析，它具有很强的特征提取功能，尤其是对突变信号的处理优势非常明显。由于随机噪声信号的小波变换与有效信号的小波变换在特征上具有明显的区别，因此小波分析方法具有很强的消噪功能。,2020/5/3,31,结语,小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科,在欧美国家已成为众多学科共同关注的热点。小波分析被认为是傅里叶分析的突破性进展,是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；它正逐步应用于信号分析、系统控制、图像处理、量子力学、电子对抗、计算机识别、语音识别与合成、分形和数字电视等领域。,2020/5/3,32,参考资料,1，汪富泉，李后强，小波理论与分形，物理，23（1994），539-5432，宋菲君，S。Jutamulia，近