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西南财经大学经济数学学院孙疆明,高等数学,国,保,第十三讲泰勒公式,二、带皮亚诺余项的泰勒公式,三、带拉格朗日余项的泰勒公式,四、五个常用函数的泰勒公式,一、函数逼近、泰勒多项式,（二）函数近似用多项式逼近函数.逼近有两种看法：（1）在一点附近近似这个函数好；泰勒公式（2）在区间上整体逼近得好。傅立叶级数、正交多项式,（一）比较,一、函数逼近、泰勒多项式,在讨论函数的微分时，已经得出:,（1）怎样确定系数Rn(x)很小？,（2）误差Rn(x)有多大？,代入上述条件得到,即,于是,2,二、带皮亚诺余项的泰勒公式,定理1:,证,应用罗比达法则,只须证明,2,能否再用罗比达法则？,应用导数定义,不能再用罗比达法则！,三、带拉格朗日余项的泰勒公式,定理2:,证明思路分析,带拉格朗日余项的泰勒公式变形为,应用柯西中值定理,证,作辅助函数,连续使用（n+1）次柯西中值定理,证毕,注意1拉格朗日余项的其他形式,注意2拉格朗日中值定理可以看成是0阶拉格朗日余项泰勒公式。,注意3两种形式余项的泰勒公式，各自成立的条件不同。应用范围不同。,2,注意4,或者,麦克劳林公式,四、五个常用函数的泰勒公式,五个常用函数的泰勒公式,解,2,三阶呢？,不存在！,解,二、泰勒公式应用举例,第十四讲泰勒公式的应用,一、复习,复习,关于皮亚诺余项泰勒公式的证明,应用罗比达法则,能否再用罗比达法则？,应用导数定义,不能再用罗比达法则！,注意,五个常用函数的泰勒公式,求未定型极限确定无穷小量的阶,二、泰勒公式应用举例,近似计算：近似值、近似公式利用导数研究函数的性质,局部应用,区间应用,皮亚诺型余项,拉格朗日型余项,（一）近似公式,弃去余项，得近似公式,例如：,误差,误差,误差,例如：,要使误差小于0.001，问公式的适用范围？,解,多取两位！,解,解,解,（二）求未定型极限,利用皮亚诺型余项泰勒公式,解,利用皮亚诺型余项泰勒公式,做不出来了！,解,例7惠更斯弧长近似公式,(,要求尽可能准确地用近似公式,表示弧长s，确定系数a和b,解,由此得,又知,近似公式,误差,误差,应用惠更斯
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