天津大学 现代控制理论课件 第1章 控制系统的状态空间表达式

第1章控制系统的状态空间表达式,现代控制理论,主讲：窦立谦,本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式,绪论,1.1状态变量及状态空间表达式,1状态,描述一个系统得过去、现在和将来的状况,2状态变量,足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量,注1.1-1：一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。,例如微分方程：,注1.1-2：状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数。,1.1状态变量及状态空间表达式,3状态矢量,如果n个状态变量用表示，并把这些状态看作是的分量，则就称作状态矢量：,4状态空间,以状态变量为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。随着时间的推移，将在状态空间中描述出一条轨迹，称为状态轨迹。,1.1状态变量及状态空间表达式,5状态方程,描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程组：,6输出方程,描述系统输出与状态、输入之间关系的表达式：,7状态空间表达式,状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：,1.1状态变量及状态空间表达式,例1.1-1求R-L-C电路的状态空间表达式，输出为电容两端电压,图1.1-1R-L-C电路,1选择状态变量,例题1.1【解答】,状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两端电压，和流经电感L的电流。,1.1状态变量及状态空间表达式,2列写一阶微分方程,例题1.1-1【解答】,3列写状态方程和输出方程,（1）状态方程,1.1状态变量及状态空间表达式,例题1.1-1【解答】,3列写状态方程和输出方程,（2）输出方程,4列写状态空间表达式,1.1状态变量及状态空间表达式,8状态空间表达式的一般形式,状态矩阵,输入矩阵,直接转移矩阵,输出向量,输出矩阵,状态向量,输入向量,1.1状态变量及状态空间表达式,8状态空间表达式的一般形式,（1）SISO,（2）MIMO,1.1状态变量及状态空间表达式,9状态空间表达式系统框图,注1.1-3：从状态空间表达式与系统框图可以看出，状态空间方法既表征了输入对系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响。所以状态空间表达式是对系统的一种完全描述。,本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式,绪论,1.2状态空间表达式的模拟结构图,1作用,采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。,2三类基本框图,1.2状态空间表达式的模拟结构图,例1.2-1设一阶系统状态方程为则其状态图为,例1.2-2设三阶系统状态空间表达式为,1.2状态空间表达式的模拟结构图,本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式,绪论,1.3状态空间表达式的建立（一）,1由系统框图建状态空间表达式,用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式，一般有3种途径：（1）由系统方块图来建立（2）从机理特性出发建立（3）由高阶微分方程和传递函数建立,例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式,1.3状态空间表达式的建立（一）,例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式,例题1.3-1【解答】,求解步骤：1选择状态变量2列写状态方程3列写输出方程4写成状态空间表达式,1.3状态空间表达式的建立（一）,例1.3-1系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式,1选择状态变量,每一个方块的后面，除比例环节。,2列写状态方程,3列写输出方程,4列写状态空间形式,x3,x2,x1,1.3状态空间表达式的建立（一）,例1.3-2系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式,例1.3-3系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式,1.3状态空间表达式的建立（一）,例1.3-3系统方块图如下，输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式,z-p,1.3状态空间表达式的建立（一）,2从机理特性出发建状态空间表达式,一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的状态方程。,弹簧-质量-阻尼器系统,电路系统系统,1.3状态空间表达式的建立（一）,例1.3-4如图1.3-4所示的电路，试以电压u为输出，以电容C上的电压uc为输出变量，列写其状态空间表达式,图1.3-4电路系统系统,例题1.3-4【解答】,1选择状态变量,电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量。,1.3状态空间表达式的建立（一）,2列写状态方程,根据基尔霍夫定律列写电路方程,现在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程,1.3状态空间表达式的建立（一）,3列写输出方程,由于前面已指出电容上的电压uc为输出变量，故系统的输出方程为,4整理成状态空间表达式,1.3状态空间表达式的建立（一）,例1.3-5如图1.3-5所示，输入为外力F(t)，输出为位移y(t)，小车质量为m，试建立机械位移系统的状态空间表达式,例题1.3-5【解答】,1选择状态变量,选择位移y(t)，速度y(t)为系统的状态变量。,图1.3-5弹簧-质量-阻尼器系统,1.3状态空间表达式的建立（一）,2列写状态方程,根据牛顿运动学定律列写运动方程,现在令x1=y，x2=，将上式写成矩阵形式即为状态方程,3列写输出方程,4整理成状态空间表达式,本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式,绪论,1.4状态空间表达式的建立（二）,在经典控制理论中，系统的模型采用微分方程或传递函数来表示，表示的是系统输入-输出之间的关系。这一节将讲解如何从微分方程或传递函数来得到系统的状态空间表达式，控制上将这种问题称为实现问题。（1）能控标准型（2）能观标准型（3）对角标准型（4）Jordan（约旦）标准型,1.4状态空间表达式的建立（二）,1能控标准型,考虑由下式定义的系统（单变量线性定常，）,(1)m=0,系统的传递函数为：,系统的传递函数为：,1.4状态空间表达式的建立（二）,1能控标准型,(1)m=0,系统模拟结构图为：,系统状态方程为：,输出方程为：,1.4状态空间表达式的建立（二）,1能控标准型,(1)m=0,系统状态空间表达式为：,1.4状态空间表达式的建立（二）,例1.4-1系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程,例题1.4-1【解答】,1直接按能控标准型列写,1.4状态空间表达式的建立（二）,1能控标准型,(2)m0,系统的传递函数为：,设待实现系统的传递函数为：,1.4状态空间表达式的建立（二）,1能控标准型,(2)m0,1.4状态空间表达式的建立（二）,1能控标准型,(2)m0,1.4状态空间表达式的建立（二）,1能控标准型,(2)m0,推广到n阶，状态空间表达式为：,1.4状态空间表达式的建立（二）,2能观标准型,1.4状态空间表达式的建立（二）,例1.4-2系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程,例题1.4-2【解答】,1直接按能控标准型列写,1.4状态空间表达式的建立（二）,3对角标准型,当系统的传递函数如下表示时：,考虑分母多项式中只含相异根的情况。,1.4状态空间表达式的建立（二）,3对角标准型,状态变量的拉普拉斯变换为,1.4状态空间表达式的建立（二）,4约旦标准型,当系统的传递函数如下表示时：,考虑分母多项式中含有重根的情况。,1.4状态空间表达式的建立（二）,4约旦标准型,1.4状态空间表达式的建立（二）,4约旦标准型,设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为,其中，,设状态变量为：,1.4状态空间表达式的建立（二）,4约旦标准型,1.4状态空间表达式的建立（二）,例1.4-3系统的输入输出传递函数为：列写其对角标准型状态方程和输出方程,1.4状态空间表达式的建立（二）,2列写对角标准型,1.4状态空间表达式的建立（二）,例1.4-4系统的输入输出传递函数为：列写其能控、能观、对角标准型状态方程和输出方程,本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式,绪论,1.5状态变量的线性变换,1线性变换的概念,如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。,（1）定义：状态x与z的变换，称为状态的线性变换由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：,或,注：T为非奇异矩阵,1.5状态变量的线性变换,1线性变换的概念,（2）基本关系式：设一个n阶系统，状态矢量为x,其状态空间表达式为,现取线性变换为,其中:是阶非奇异阵。代入上述表达式，得,1.5状态变量的线性变换,例1.5-1,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,2系统特征值的不变性及系统的不变量,（1）系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。,对于系统：,系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。,系统的特征方程为：,系统的特征多项式为：,若：,1.5状态变量的线性变换,2系统特征值的不变性及系统的不变量,（2）系统不变性与特征值的不变性,尽管与形式不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。,1.5状态变量的线性变换,2系统特征值的不变性及系统的不变量,（3）特征值向量（矢量）,例1.5-2,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,3状态空间表达式变换成约旦标准型,约旦标准型包括两种情况，一种是对角型，一种是标准型。,对于系统：,A特征值无重根,A特征值有重根,1.5状态变量的线性变换,3状态空间表达式变换成约旦标准型,（1）A特征值无重根,步骤,1求A的特征值,2求特征值对应的特征向量,3定义转化矩阵为：,4求新的状态表达式,1.5状态变量的线性变换,例1.5-3解答,例1.5-3将下面系统化为对角标准型,1.5状态变量的线性变换,3定义转化矩阵为：,1.5状态变量的线性变换,4求新的状态表达式,1.5状态变量的线性变换,3状态空间表达式变换成约旦标准型,（2）A特征值有重根,步骤,1求A的特征值,2求特征值对应的特征向量,3定义转化矩阵为：,4求新的状态表达式,1.5状态变量的线性变换,例1.5-4,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,1.5状态变量的线性变换,例1.5-3解答,例1.5-5将A化为对角标准型,线性无关的两个向量,1.5状态变量的线性变换,求的：,注1.5-1：A有重特征值，但A仍有n个独立的特征向量,注1.5-2：A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数n,1.5状态变量的线性变换,3状态空间表达式变换成约旦标准型,（3）A为能控标准型,A的特征值无重根时Vandermonde范德蒙德矩阵,1.5状态变量的线性变换,3状态空间表达式变换成约旦标准型,A的特征值有重根时以有三重根为例,A的特征值有共轭复根时,1.5状态变量的线性变换,例1.5-3解答,例1.5-6将A化为约旦标准型,本章结构第1章控制系统的状态空间表达式1.1状态变量及状态空间表达式1.2状态空间表达式的模拟结构图1.3状态空间表达式的建立（一）1.4状态空间表达式的建立（二）1.5状态变量的线性变换1.6从状态空间表达式求传递函数1.7离散时间系统的状态空间表达式1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式,绪论,1.6从状态空间表达式求传递函数,