行列式按行(列)展开定理

1,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.,问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式来计算？,一.按一行(列)展开行列式,2,定义1.5,在n阶行列式中,把元素,所在的第i行和,余子式.,记为,称,为元素,的代数余子式.,例如,第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素,3,的余子式.,的代数余子式.,4,注行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,5,引理若在n阶行列式D的第i行中有一个元素aij0,其余元素全为零,则D=aijAij.,定理1.4设n阶行列式,则n阶行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即,6,证,(只证按行展开第一式),将行列式D改写为,D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj(j=1,2,n),或,7,由行列式性质2及引理，得,=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin.(i=1,2,n),同理可证按列展开式成立.,8,解按第一行展开,得,例1计算行列式,9,推论n阶行列式D的任意一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即,证,由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们,代数余子式的乘积之和.,10,在行列式,中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如第k行的元素,11,则,行列式含有两个相同的行,值为0.,12,综上所述,得公式,注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有,意义，但展开定理在理论上是重要的,13,利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：,计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.,例2计算行列式,14,解,15,16,例3,计算n阶行列式,17,解将Dn按第一列展开,于是,得递推公式,而由递推公式,得,继续递推公式,得,故,18,例4,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,19,证,用数学归纳法,(1)当n=2时,结论成立.,(2)设n-1阶范德蒙行列式成立,证明n阶也成立.,20,n-1阶范德蒙行列式,21,证毕.,用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）,=57,练习题,22,例5利用性质及展开定理计算行列式的值.,解,23,按第二列展开,按第二行展开,24,例6计算行列式,25,解将行列式每一列加到第一列，则,26,27,例7计算行列式,解我们称行列式D为箭形行列式,解决的目标：化为上三角形行列式.,28,29,例8计算行列式,30,箭形行列式,31,32,例9,（可以化为箭形行列式）,33,34,35,二.行列式按某k行(列)展开,定义1.6,在n阶行列式D中任取k行k列(1kn),称,位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在D中的相对位置所组成的k阶行列式N为D的一个k阶子式.,36,称划去N所在的行与列后剩下的元素按照其在D中的,相对位置所组成的n-k阶行列式M为N的余子式.,若N所在的行与列的行标与列标分别为,37,例10设,则D的位于第1、3行,第2、3列的2阶子式为,及,则称,为N的代数余子式,记作A.即,38,，N1的代数余子式为,D的位于第1、3、4行,第2、3、4列的3阶子式为,，N2的代数余子式为,39,显然,n阶行列式D位于某k行的k阶子式有,个,从而D共有,个k阶子式.,定理1.5,n阶行列式D等于其位于某k行的所有k阶,与其对应的代数余子式,A1,A2,.,At的乘积之和,即,显然,定理1.4是定理1.5中k=1时的特例.按照定理1.5展开行列式似乎很繁,但当行列式的某些行中有众,40,多的零时,定理1.5的实用价值立即展现出来.,例11,计算行列式,解,因为D中第2、4行的,个2阶子式中只有,一个是非零的.故将D按第2、4行展开得,41,例12,计算m+n阶行列式,42,解,按前m列展开,得,43,例13,计算2n阶行列式,(其中未写出的元素皆为零）,解,按第1、2n行展开,因位于这两行的全部2阶子,式中只有1个(即位于第1、2n列的2阶子式)可能非零,且其余子式恰为0