第六讲 热量传递过程选论

传递过程典型问题的解,热量传递过程选论,12.2不可压缩层流下的稳态传热过程,本课讨论运用变化方程组求解非等温系统中的多维传递问题，包括动量传递和能量传递。通过典型问题的示例，主要介绍两种求解技巧：渐近解方法。Sturm-Liouville本征值问题的级数解方法。,Sturm-Liouville本征值问题的级数解方法（1）,Sturm-Liouville定理：(1)对于下列形式的常微分方程,如果系数函数k(x)、q(x)和p(x)恒为正值，且k(x)、k(x)、q(x)和p(x)在闭区间a,b上连续，则必然存在无穷多个特征值,(a.1),Sturm-Liouville本征值问题的级数解方法（2）,当等于任何一个特征值n时，式(a.1)必然具有一个非平凡解fn(x)满足相应的边界条件。该fn(x)被称为对应于n的特征函数。,(2)不同的特征函数在闭区间a,b上加权正交：,(a.2),Sturm-Liouville本征值问题的级数解方法（3）,(3)任何满足式(a.1)中边界条件并在闭区间a,b上具有分段连续的一阶和二阶导数的函数都可以展开为特征函数的绝对一致收敛级数：,(a.3),展开式中的系数可由下式计算：,(a.4),12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（1）,问题描述：一股牛顿流体流经一根长的圆直管内。从远离管进口的某个位置起，一个电加热线圈设置在管壁外并通过恒定电流加热。要求解析求解流体温度沿管长和半径方向的分布。,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（2）,1.物理模型:常物性;充分发展的稳态层流;稳态传热;恒定壁面热通量;轴向热传导可忽略;周向均匀;粘性耗散可忽略;不存在内热源。,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（3）,2.数学模型:1)选用柱坐标系，令z-轴与管道中心线重叠且设加热起始点为z=0。2)列出以下简化:,(1)根据物理模型(1)和(2)两点,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（4）,(2)根据物理模型第(3)点,(3)根据物理模型第(5)点,(4)根据物理模型第(6)点,(5)根据物理模型第(7)点,(6)根据物理模型第(8)点,(7)根据物理模型第(1)点,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（5）,3)化简柱坐标系下的能量方程式(B.9-2),舍弃等于零的项，该式简化为,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（6）,把简化(1)代入上式，再结合物理模型(4)，我们得到了此问题的数学模型：,(10.8-12),12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（7）,3.求解数学模型把数学模型无因次化取R作为特征长度是很自然的选择。于是有,以及,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（8）,边界条件B.C.2可以重新整理写为,令,边界条件B.C.1和B.C.2变为,边界条件B.C.1可被齐次化，只需令,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（9）,就有,上式中的无因次准数可被合并到*中以使控制方程更为简单。,控制方程变为,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（10）,(10.8-19),式(10.8-12)简化为,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（11）,式(10.8-19)在=1处具有非齐次边界条件，因而不能将变量分离法直接应用于它。由于忽略了轴向热传导，可以合理地推测在远离加热起始点的下游区域的温度场具有充分发展的分布剖形：在恒定管壁热通量的作用下，流体的温度正比于轴向距离z线性升高，但沿半径方向的无因次温度分布曲线的形状保持不变。,2)长距离时的渐近解,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（12）,这个推测可以用数学方式表示为,(10.8-23),将式(10.8-23)代入式(10.8-19)，得到,(10.8-26),12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（13）,对式(10.8-26)积分两次，就得到该方程的通解为,(10.8-27),根据边界条件B.C.3，C1=0。根据边界条件B.C.2，C0=4。于是,这个解并不满足边界条件B.C.1，因此不能够根据B.C.1确定积分常数C2。,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（14）,为了确定C2，我们对z=0到z=z管段内的流体做热量衡算：,(10.8-31),即,可得,于是,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（15）,3)完全解,(12.2-4),上述长距离渐近解满足方程(10.8-19)和=1处的边界条件B.C.2，因此可以用它来使方程(10.8-19)的边界条件B.C.2齐次化。令,将式(12.2-4)代入式(10.8-19)，我们得到d的数学模型如下：,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（16）,(b.1),可以看见，式(b.1)左侧的算子仅与自变量有关而右侧的算子仅与自变量有关。因此我们可以运用变量分离法求解此方程。,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（17）,(12.2-8),令,可以看见，式(b.2)的等号左侧是的函数而右侧是的函数。由于是和彼此独立的自变量，所以式(b.2)成立的唯一途径是等号两侧都等于同一个常数（称为变量分离常数）。,将其代入式(b.1)，我们有,用除以上式的等号两侧，得,(b.2),12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（18）,(12.2-9*),即,式(12.2-9*)的通解是,此式可以分离成两个常微分方程：,(12.2-10*),因为当时的值应该有限，所以必然有C0，记为C=-c2。,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（19）,于是,令=2和=c2/4，式(12.2-10)可改写为,(12.2-10),对比式(a.1)，此方程是一个Sturm-Liouville问题。,(b.4),(b.3),12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（20）,遵照Sturm-Liouville定理，此方程必然存在无穷多个本征值k和本征函数k，而此方程的任何解都可以展开为这些特征函数的级数。,于是方程(b.1)的解可以表示为,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（21）,展开式中的系数Bk可以根据式(b.1)的边界条件B.C.1确定：,而特征值k和特征函数k本身则需通过在相应的边界条件下求解式(b.4)获得。R.Siegel曾经求解此问题并获得k等于1到7的结果。,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（22）,4.结果分析,1)完整解Siegel的结果如下表,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（23）,由表可见，随着k值增加，ck2迅速增大，从而只要不是非常小，exp(-ck2)将快速收敛。例如，在=0.05处，,此结果表明当0.05时，取d=d1的误差小于2%。,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（24）,2)长距离(大值)下的渐近解,在=0.1处，,此结果表明当0.1时，取=的误差小于2%。,12.2-1具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题（25）,取接近层流上限的条件，Re=2000：,对于空气，Pr=0.7，z/R=140；对于水，Pr=2.2(20C)，z/R=440。,无因次距离0.1，所对应的实际距离是多少呢？,12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(1),对于非常小的值(距加热起始点非常短的距离)，完整解中的高次项就不能被省略。高次项使解的公式复杂而不便于应用。由于这个原因，人们又发展了适用于进口区的渐近解，其原理是基于在小值下热量从壁面向流体中传递的距离(热渗透深度)很小。,12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(2),1)物理模型所采用的简化,(1)几何结构的线性化使用平壁面替代圆柱壁面。(2)半无穷空间近似流体的外边界被延拓到距壁面无限远处。(3)速度分布剖形的线性化在壁面处将速度分布函数展开成泰勒级数，略去高次项，仅保留线性部分。,12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(3),2)化简数学模型,(1)选用直角坐标系，令y代表距壁面距离。(2)线性化的速度分布表达式为,(3)能量方程简化为,(12.2-13),12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(4),将此式等号两侧同时对y求导，得,整理为,(12.2-14),根据傅立叶定律,我们有,12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(5),我们有,为使数学模型无因次化，令,(12.2-15),边界条件为,(12.2-16),12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(6),选择一组特征量,(1)导出组合变量,定义以下无因次变量,3)用变量组合法求解,式(12.2-16)可被重写为,此方程的相似解可表示为,改变*,*而使0,0保持常数；改变0,0而使*,*保持常数。,12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(7),对于求取*的某一具体值，以下两种方法是等价的：,采用方法(b)时，不妨取,于是我们有,12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(8),令,代入式(12.2-16)，得到,取,我们得到常微分方程,(12.2-20),有,12.2-2具有恒定壁面热通量的管内层流传热问题进口区的渐近解(9),(2)求解常微分方程,式(12.2-20)可以重写为,积分上式得到,整理得,根