概率论(第二版)

22随机变量的数字特征,一、离散型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,三、随机变量函数的数学期望,四、数学期望的性质,五、随机变量的方差,六、随机变量的矩与切比雪夫不等式,我们已经知道，分布函数（或概率分布、密度函数）全面地描述了随机变量的统计规律。但是无论从理论或者应用的角度来看，从某些侧面粗线条地描述随机变量的统计规律仍是十分必要的。首先，全面地反映与描述没有突出重点；其次，在实际应用中要全部掌握一个随机变量的分布也是困难的。事实上，只要能了解几个充分反映出分布特点的数值指标就够用了。这些数值指标就是随机变量的数字特征，它们是本节要讨论的主要内容。随机变量有许多数字特征，我们主要介绍数学期望、方差和相关系数，它们分别表示随机变量一切可能值的集中位置、集中和分散的程度以及随机变量之间相依的程度。,一、离散型随机变量的数学期望,引例观察一名射手20次射击的成绩如下,当试验次数加大时频率fi的稳定值就是概率pi相应地平均,评价射手的射击水平的“平均中靶环数”为,一、离散型随机变量的数学期望,若离散型随机变量X的概率分布为PXxipii12则当,定义26(数学期望),设X是离散型随机变量，其概率分布为,若级数,绝对收敛，则称该级数的和为随机变量,X的数学期望（mathematicalexpectation）,（或均值（meanvalue），记作EX,若级数,不是绝对收敛，即,则称随机变量X的数学期望不存在。,随机变量X的数学期望反映了X取值的平均值，它由,分布完全决定。当分布给定时，数学期望为一数值（常数）。,我们假定级数绝对收敛就保证了级数的和与求和的次序无关,例29设盒中有5个球其中两个白球3个黑球从中随意抽取3个球记X为抽取到的白球数求EX,X的可能取值为012而且根据古典概型计算有,解,于是,离散型随机变量的数学期望,提示,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间ab上取不为零的值把区间ab进行分割ax0x1xn1b将X近似地看成是取值为x0x1xn的离散型随机变量此时,分析,当分点越来越密时近似会越来越好令各小区间长度趋于0则有,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间ab上取不为零的值把区间ab进行分割ax0x1xn1b将X近似地看成是取值为x0x1xn的离散型随机变量此时,分析,二、连续型随机变量的数学期望,定义27(数学期望),若X为连续型随机变量f(x)为其密度函数如果,解,连续型随机变量的数学期望,例:设X服从均匀分布，即XUa，b，试求X,解均匀分布XUa，b的密度函数为：,的数学期望。,均匀分布的数学期望，正好是区间a，b的中点。,故有：,解,显然EX存在且,连续型随机变量的数学期望,三、随机变量函数的数学期望,定理21,例212设X的概率分布如下表求E(XEX)2,根据例29EX12于是根据定理21(1)有,解,036,根据例211EX1于是由定理21(2)有,解,四、数学期望的性质,性质1对任意常数a有Eaa性质2设a1a2为任意实数g1(x)g2(x)为任意实函数如果Eg1(X)Eg2(X)均存在则Ea1g1(X)a2g2(X)a1Eg1(X)a2Eg2(X)(223),例214设EXEX2均存在证明E(XEX)2EX2(EX)2(225),EX2(EX)2,EX22EXEX(EX)2,EX22XEX(EX)2,E(XEX)2,因为(XEX)2X22XEX(EX)2,证明,于是由(223)得,性质3如果EX存在则对任意实数a有E(Xa)EXa(224),应用举例设某种商品每周的需求量X是服从区间10，30上均匀分布的随机变量,而经销商店的进货数量为10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。,解设进货量为a，10a30，且用Y表示利润，则,显然Y为X的函数，记Yf（X），从而期望利润为,为使商店所获利润期望值不少于9280元，有：,即：,解不等式得：,最少进货量为21单位。,平均抗拉强度都是126,若最低抗拉强度要求为110，,第二批质量较差。,在平均值或期望值相同的情况下，,随机变量的离散程度也是分布的一个特征。,引例有两批钢筋，每批10根，它们的抗拉强度指标如下：,说明,五、随机变量的方差,定义28(方差)设X为一个随机变量其数学期望EX存在如果E(XEX)2也存在则称E(XEX)2为随机变量X的方差记作D(X)或DX,XEX称为X的离差,一个随机变量的方差粗略地讲反映随机变量偏离数学期望的平均偏离程度,五、随机变量的方差,定义28(方差)设X为一个随机变量其数学期望EX存在如果E(XEX)2也存在则称E(XEX)2为随机变量X的方差记作D(X)或DX,(1)设离散型随机变量X的概率分布为PXxipii12,方差的计算,(2)设连续型随机变量X的密度函数为f(x)则,(3)计算方差的常用公式为,方差的性质,设X的方差DX存在a为任意常数则(1)Da0(229)(2)D(Xa)DX(230)(3)D(aX)a2DX(231),例215设X的概率分布如下表已知EX12求DX,DXEX2(EX)2,解,18(12)2,036,解,因为EX1且,从而,例217X为一随机变量方差存在令l(C)E(XC)2(232)证明当且仅当CEX时l(C)达到最小值此时最小值为DX,显然当且仅当CEX时最后一个不等式的等号成立故l(C)在CEX时达到最小值且最小值为DX,证明,l(C)E(XC)2E(XEX)(EXC)2,E(XEX)22(XEX)(EXC)(EXC)2,E(XEX)2(EXC)2,E(XEX)2DX,两种方案的预期收益相同。,第二种方案风险更大。,应用举例,六、随机变量的矩与切比雪夫不等式,定义29(原点矩)X为一随机变量k为正整数如果EXk存在(即E|X|k)则称EXk为X的k阶原点矩称E|X|k为X的k阶绝对矩,定义210(中心矩)X为一随机变量k为正整数如果EXk存在则称E(XEX)k为X的k阶中心矩称E|XEX|k为X的k阶绝对中心矩,定理22随机变量X的t阶矩存在则其s阶矩(0st)也存在,推论设k为正整数C为常数如果EXk存在则E(XC)k存在特别地