2019_2020学年高中数学第1章计数原理5.1二项式定理学案北师大版.docx

5.1二项式定理学 习 目 标核 心 素 养1.能用计数原理证明二项式定理(难点)2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(难点)通过对二项式定理的学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN)叫作二项式定理二项展开式公式右边的式子叫作(ab)n的二项展开式二项式系数各项的系数C(r0,1,2，n)叫作二项式系数二项展开式的通项式中Canrbr叫作二项展开式的通项在二项式定理中，若a1，bx，则(1x)n1CxCx2Cxrxn.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关思考2：二项式(ab)n与(ba)n展开式中第k1项是否相同？提示不同(ab)n展开式中第k1项为Cankbk，而(ba)n展开式中第k1项为Cbnkak.1(x1)n的展开式共有11项，则n等于()A9 B10C11D12B由二项式定理的公式特征可知n10.2(y2x)8展开式中的第6项的二项式系数为()AC BC(2)5 CC DC(2)6C由题意可知：Tk1Cy8k(2x)kC(2)kxky8k，当k5时，二项式系数为C.3.展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40C由题意可知：Tr1C (x2 )5r(2)rCx105r，令105r0，得r2，即展开式中的常数项为(2)2C40.4(x2y)7的展开式中的第4项为()A280x4y3B280x4y3C35x4y3D35x4y3A(x2y)7的展开式中的第4项为T4Cx4(2y)3(2)3Cx4y3280x4y3.二项式定理的正用和逆用【例1】(1)求的展开式；(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解(1)法一：C(3)4C(3)3C(3)2C(3)C81x2108x54.法二：(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)01(x1)151x51.二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(ab)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.(2)逆用：将展开式合并成二项式(ab)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.112C4C8C16C(2)nC的值为()A1 B1C(1)nD3nC12C4C8C16C(2)nC1(2)n(12)n(1)n.2求的展开式解(x21)6C(x2)6C(x2)5C(x2)4C(x2)3C(x2)2Cx2C(x126x1015x820x615x46x21)x66x415x220.二项式系数与项的系数【例2】已知二项式.(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项解的展开式的通项是Tk1C(3)10kC310k x (k0,1,2，10)(1)展开式的第4项(k3)的二项式系数为C120.(2)展开式的第4项的系数为C3777 760.(3)展开式的第4项为T4T3177 760.区分二项式系数与某一项系数(1)二项式系数都是组合数C(k0，1，2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第k1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280.3已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数解(1)因为T3C()n24Cx，T2C()n12Cx，依题意得4C2C162，所以2CC81，所以n281，nN，故n9.(2)设第k1项含x3项，则Tk1C()9kk(2)kCx，所以3，k1，所以第二项为含x3的项为T22Cx318x3.二项式系数为C9.求展开式中的特定项探究问题1如何求展开式中的常数项提示利用二项展开式的通项Cx4rCx42r求解，令42r0，则r2，所以展开式中的常数项为C6.2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？提示(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到3如何求(2x1)3展开式中含x的项？提示(2x1)3展开式中含x的项是由x中的x与分别与(2x1)3展开式中常数项C1及x2项C22x212x2分别相乘再把积相加得xCC(2x)2x12x13x.即(2x1)3展开式中含x的项为13x.【例3】已知在()n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项. 思路探究：解通项公式为Tr1Cx(3)rxC(3)rx.(1)第6项为常数项，r5时，有0，即n10.(2)令2，得r(106)2，所求的系数为C(3)2405.(3)由题意得，令k(kZ)，则102r3k，即r5k.rZ，k应为偶数，k2,0，2，即r2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(3)2x2，C(3)5，C(3)8x2.即405x2，61 236,295 245x2.求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.4(1)在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_(2)若展开式的常数项为60，则常数a的值为_(1)207(2)4(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为CC(1)207.(2)的展开式的通项是Tk1Cx6k()kx2kCx63k()k，令63k0，得k2，即当k2时，Tk1为常数项，即常数项是Ca，根据已知得Ca60，解得a4.1注意区分项的二项式系数与系数的概念2要牢记Cankbk是展开式的第k1项，不要误认为是第k项3求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值. 1.化简(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1得()Ax4 B(x1)4C(x1)4Dx5A原式 (x11)4x4.2已知的展开式的第4项等于5，则x等于()A B C7 D7BT4Cx45，x.3.的展开式中，常数项为15，则n的值为()A3 B4 C5 D6D展开式的通项为Tk1C(x2)nk(1)k(1)kCx2n3k.令2n3k0，得nk(n，kN)，若k2，则n3不符合题意，若k4，则n6，此时(1)4C15，所以