天津理工大学大学物理：机械波

1,机械波,天津理工大学理学院物理系,2,一机械波产生的条件纵波与横波,在弹性体内部，任一质点离开平衡位置时将产生使它回到平衡位置的力,与一弹簧振子类似,质点就会在平衡位置附近振动起来,与此同时这质点将给相邻部分以作用力，因而使相邻部分的质点也离开平衡位置振动起来。,依靠弹性力的作用振动从一处逐渐传播出去,这种机械振动的传播过程就形成了机械波,这样的弹性体我们称其为弹性媒质,3,例如电话听筒内膜片在空气中的振动,机械波产生的条件：,首先要有作机械振动的物体作为波源,其次要有能够传播这种机械振动的弹性媒质,电话听筒内膜片就是波源，而空气就是传播声波的弹性媒质。声波、超声波、水面波以及地震波等都是机械波。,4,波动只是振动状态的传播。振动传播时，每个质点都在一定的平衡位置附近振动，并没有沿着传播方向的流动，而且质点的振动方向和波的传播方向也不一定相同。,振动方向和传播方向相同的波称为纵波，在空气中或液体中传播的声或超声就是纵波；,特点：质点的振动方向与波传播方向一致,5,如果振动方向和传播方向垂直，这种波就是横波。用手抖动绳子一端时，绳子上产生的波就是横波。,特点：波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直,6,振动在一周期中传播的距离为波长，通常用表示。,因为相隔一周期后振动状态复原，所以相隔一波长两点之间的振动状态是相同的，即振动位相相同。因此波长也就是两个相邻近的振动位相相同的点之间的距离。,二波长、频率、波速之间的关系,纵波波长,两相邻密集或相邻稀疏中心间的距离,横波波长,两相邻波峰或波谷间的距离,沿波的传播方向每隔一个波长的距离就出现振动位相相同的点，即波长描述了波在空间上的周期性。,7,单位时间内振动所传播的距离,以一周期内振动的次数，即以频率,代替T，则有,此为波长、频率和波速u之间的最基本的关系式。知道其中任意两个量就可以求出另外一个量。波长表示了波在空间上的周期性，而频率表示了波在时间上的周期性。波在空间上及时间上的周期性就以上面的关系联系了起来。,请记住,波速实际上就是一定的振动状态即振动位相的传播速度（相速度）。由于波长是波一周期内一定位相传播的距离，所以波速,波速,8,最简单、最基本的波。由于一切复杂的振动都可以看成是由若干个简谐振动合成起来的，因此一切复杂的波也可看成是由简谐波合成起来的。,用数学的形式去描述简谐波，写出以速度u沿x方向传播的简谐波的表达式。,如图，用0 x表示波传播的方向，纵坐标y表示直线0 x上各点的位移。若能知道每一时刻直线上每一点的位移y，就掌握了波的全部过程，也就达到了描述波的目的。因此可求任一时刻t距离0点为x的任一点P的位移。,四简谐波,简谐振动的传播所构成的波,9,设在x=0处任一点0的振动方程为,并设在传播过程中各点振动的振幅不变。当振动传到P点时，P点将重复0点的振动，振幅相同、频率相同。,10,因此任一点P在任一时刻t的位移为,简谐波的表达式,一定的位相由0点传到P点所需的时间,所以在同一时刻t，P点的位相比0点落后,在t时刻,P点的位相应等于0点在时刻tx/u的位相,0点的位相,11,根据,及,上式还可以写成,请记住,12,波线上各点的简谐运动图,13,如固定在某一点看，即当x一定时，由右式可知该点在作圆频率为的简谐振动，,因此离0点不同距离的各点具有不同的振动位相。和0点相距分别为x1和x2的两点位相差为,振动的初位相为,14,如果,则,这时上述结果说明相距为波长整数倍的两点振动具有相同的位相。,在任一时刻t，两点的位移y和速度u都是相同的，我们就说这两点的振动位相相同。,15,如果,则,由此可见，相距为半波长奇数倍的两点振动时具有相反的位相。,在任一时刻t，两点的位移y和速度u都具有相同的数值，但符号却相反。我们说这两点的振动位相相反。,16,对于给定的时间t来说，位移y是x的函数，即各点对平衡位置的位移是不相同的。,在下一时刻t+t，各点位移发生变化，y和x的关系由于中蓝线所示。,图中红线,表示位移y随x而变的关系,可看到波形向前传播，传播的速度等于波的相速度。,17,在导出简谐波的表达式时，我们假定波沿x轴的正向传播。如果波是沿x轴的负向传播，则图中P点的振动比0点早开始一段时间，即当0点振动t秒时，P点已振动（t+x/u）秒。所以P点的振动方程为,在导出简谐波的表达式时，我们还假定振幅A在传播过程中不变，以后我们会看到，这只有在平面波的情形下才是正确的。,18,波动方程,波沿x轴负向传播,波长、频率和波速u之间的关系式,19,如果,两点振动位相相同,振动位相相反,上述结果说明相距为波长整数倍的两点振动具有相同的位相，相距为半波长奇数倍的两点振动时具有相反的位相。,20,波动方程,21,-振动在一周期中传播的距离为波长,因为相隔一周期后振动状态复原，所以相隔一波长两点之间的振动状态是相同的，即振动位相相同。因此波长也就是两个相邻近的振动位相相同的点之间的距离。,纵波波长,两相邻密集或相邻稀疏中心间的距离,横波波长,两相邻波峰或波谷间的距离,单位时间内振动所传播的距离,波速,22,一选择题：,B,1.已知一平面简谐波的波动表达式为,则,（A）其波速为3m/s（B）其波速为1/3m/s（C）其频率为Hz（D）其频率为1.5Hz。,23,二.填空题,1.已知一简谐波的波动方程为y=5cos(t+4x+/2)(SI)，可知该简谐波的传播方向为_，其振幅为_，周期为_，波长为_，波速为_。,沿x负方向传播,24,2.已知一简谐波在介质A中的传播速度为u，若该简谐波进入介质B时，波长变为在介质A中的波长的两倍，则该简谐波在介质B中的传播速度为_。,2u,25,3.一简谐波的波形曲线如图所示，若已知该时刻质点A向上运动，则该简谐波的传播方向为_，B、C、D质点在该时刻的运动方向为B_，C_，D_。,B点向上、C点向下、D点向上运动,向右（x轴正方向）传播,26,2.一平面简谐波的波形曲线如图所示，则,（A）其周期为8s（B）其波长为10m（C）x=6m的质点向右运动（D）x=6m的质点向下运动。,D,周期未知,x=6m时质点向下运动,27,3.如果上题中的波速为u=10m/s，则其频率为,(A)1.25Hz(B)1Hz(C)0.8Hz(D)条件不够，无法求解。,已知,A,28,4.有一平面简谐波沿0 x轴的正方向传播，已知其周期为0.5s，振幅为1m，波长为2m，且在t=0时坐标原点处的质点位于负的最大位移处，则该简谐波的振动方程为,C,29,5.一沿0 x轴负方向传播的平面简谐波在t=T/4时的波形曲线如图所示，则原点0处质点振动的初相为(A)0(B)/2(C)(D)3/2,C,或将曲线向传播方向移动1/4周期。,30,6.图为一平面简谐波在t=T/4时的波形图，则P点处的振动方程应为,A,31,8.一平面简谐波沿x轴负方向传播，其波长为，则位于x1=的质点的振动与位于x2=-/2的质点的振动相位差为,B,32,6.已知一平面简谐波的波动方程为y=7cos(3t-5x)(SI)，则在x1=-3m处的质点的振动方程为_，它与在x2=4m处的质点的振动相位差为_。,33,5.一平面简谐波在t=t0时的波形曲线如图所示，其波速为u，周期为T，则原点处质点的振动方程为_；该简谐波的波动方程为_。,原点处质点的振动方程,波动方程,34,波是能量的传播过程，在研究波对物质的作用时，经常要考虑波传播过程中能量的传播。,这是由于它与周围相邻部分有相互作用，进行着能量交换。,六波的能量能流密度,弹性媒质中各质元在平衡位置附近振动,由于弹性媒质发生形变,具有一定的动能,具有弹性势能,对一部分媒质来说，能量是不守恒的,35,动能最大时势能也最大,研究某一时刻各点的位移,横坐标x表示质点离波源0的距离；纵坐标y表示质点离开平衡位置的位移，则在某一时刻各点的位移x和y的关系为一余弦曲线。,可看出，当质元A离开平衡位置的位移最大时（A点），速度为零，动能为零。,36,与孤立质点的情形不同，这时势能不是决定于它离开平衡位置的位移，而是决定于它的相对形变dy/dx。虽然此时质点离开平衡位置的位移最大，但邻近各点也沿同一方向发生了位移，结果相对形变却为零，即A处质元没有发生形变。,其实dy/dx就代表了曲线上任一点的斜率，A点的斜率为零则势能为零，所以动能为零时势能也为零。从图中还可以看出，在同一时刻质点B通过平衡位置，速度最大因而动能最大。虽然B点位移为零，但在左方的点发生了正方向的位移，右方的点发生了负方向的位移，结果相对形变却为最大（此点斜率最大，因此dy/dx最大），可见动能最大时势能也最大。,37,例5一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是（A）动能为零，势能最大。（B）动能为零，势能为零。（C）动能最大，势能最大。（D）动能最大，势能为零。,x表示质元离开波源的距离，y表示质元离开平衡位置的位移，对A点来说位移最大，速度为零，动能为零，虽位移最大，但相邻各点发生同方向的位移，结果相对形变为零，而势能决定于相对形变，故A处势能为零。,对B点来说，速度最大，动能最大；B点位移为零，但左方的点发生正方向的位移，右方的点发生了负方向的位移，相对形变最大，或斜率最大，（dy/dx最大），因此势能也最大。,C,38,10.一平面简谐波在弹性媒质中传播，研究其中一个质点，下列说法正确的是(A)若该质点位于负的最大位移处，其动能为零，势能最大(B)该质点的机械能总是守恒的(C)该质点在最大位移处的势能最大，在平衡位置的势能最小(D)该质点的动能和势能总是相等。,D,在任一时刻，动能和势能都相等，同时达到最大值或最小值。,若该质点位于负的最大位移处，其动能为零，势能亦为零。,机械能总是不守恒,在最大位移处的势能为零，在平衡位置的势能最大。,39,大量事实说明，从几个波源产生的波在同一介质中传播时，无论相遇与否都保持自己原有的特性，如频率、波长、振动方向等，按照自己原来的传播方向继续前进，不受其它波的影响。因此在相遇处各点的位移是各波单独存在时在该点所引起的位移的矢量和。此即波的叠加原理。,八波的叠加与干涉驻波,40,波的叠加原理可从许多现象中观察到。如水中以两石块落下处为中心而发出的圆形波，彼此穿过而又离开后仍是正圆形的，并仍以石块落下处为圆心；乐队演奏乐曲时，各种乐器的声音保持各自原有的特色，因而能够从中分辨出来。,可看到，几列波在介质中同时传播时，各波在重叠处都按原来的方式引起相应的振动，而质点的振动就是这些振动的合振动。如果各波的振动频率不同，振动方向不同，则在重叠处引起的振动是很复杂的。,41,实际上最重要的是两波源的频率相同、振动方向相同、位相相同或有固定位相差的特殊情形。这时在重叠处，两列简谐波所引起的简谐振动具有相同的振动方向、相同的频率，且彼此之间有固定的位相差，因此合成后仍为一简谐振动，振幅则视位相差而定。位相相同的地方振幅最大，位相相反的地方振幅最小。这种在两波重叠处有些地方振动加强，而在另一些地方振动减弱或完全抵消的现象，称为干涉现象。能产生干涉现象的两列波称为相干波，波源则称为相干波源。,42,具体分析一下干涉现象。设有两个相干波源S1和S2，其振动方程分别为,据相干波源的条件，可知两列波的位相差21恒定。从这两波源发出的波在空间相遇时，P处质点的振动可按叠加原理计算。设P点离开S1和S2的距离分别为r1和r2，两列波波长为，那么P点的两个分振动为,43,44,而合振动为,其中,两相干波在空间任一点所引起的两个振动的位相差,这是一个恒量，可知任一点的振幅A也是一个恒量。,45,若符合下述条件,则,空间各点合振幅为最大。,此时,空间各点合振幅最小。,对于同位相相干波源，应有1=2，则上述条件简化为,46,或,是从波源发出的两列相干波到达P点时所经过的路程之差。所以上两式说明，两相干波源为同位相时，在两列波的叠加区域内，在波程差等于零或波长的整数倍的各点振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点振幅最小。,请记住,加强,减弱,47,演示实验：弦线上的驻波,驻波是干涉的特例。当频率与绳长调整适当，绳上分段振动，某些点振幅很大，某些点几乎不动，称为驻波。,驻波的特点不是振动的传播而是媒质中各质点都作稳定的振动。,驻波,所谓驻波，是由振幅相同、频率相同、振动方向相同而相向传播的两列波相叠加而成的。,48,49,设沿X轴正方向和负方向传播的两列相干波的表达式为,在两波重叠出各点的位移为两波引起的位移的合成，即,此式由三角函数的和差与积之间的关系而来,由上式可见，坐标为X的点在作振幅为,频率为的简谐振动。因此各点都在作同样频率的简谐振动，但具有不同的振幅。,50,满足cos(2x/)=0的点，振幅为零，这些点始终静止不动，称为波节；,两列波在这些点上引起的振动具有相同的位相，因而叠加后振幅最大，等于2A。,两列波在这些点上引起的振动具有相反的位相，因而叠加后振幅为零；,波节,波腹,满足|cos(2x/)|=1的点，振幅最大，等于2A,这些点的振动最强，称为波腹。,51,求波腹和波节的坐标,波腹,得出决定波腹位置的条件为,波节,得出决定波节位置的条件为,四分之一波长的偶数倍,四分之一波长的奇数倍,52,波腹,波节,由,测得波节与波节或波腹与波腹之间的距离就可确定两列波的波长,两相邻波节或两相邻波腹之间的距离都是半波长,波节与两相邻波腹之间的距离为四分之一波长,53,测定波长,演示实验：弦线上的驻波,54,驻波的相位,因子cos2x/在波节的两旁具有相反的符号，在波节之间具有相同的符号。若cos2x/为正，则在两波节之间的各点都具有相同的振动位相2t，而波节两旁的点则具有相反的振动位相。由见两波节之间的各点同时沿同方向达到最大值，又同时沿同一方向通过平衡位置。,使cos(2x/)为正的点，相位为2t;使cos(2x/)为负的点，相位为2t+。,如图，波在每一瞬间都有一定的波形，但这波形是固定不动的，只是各点的位移变化大小而已，因此才称之为驻波。,55,驻波的能量,由于波腹处质元的速度最大，动能最大，而在波节处，各质元的速度为零，动能为零因此动能集中在波腹附近。,当各质元的位移都同时达到最大值时，各质元动能都为零（速度为零），全部能量都是势能（位移最大）。,由于波节附近相对形变最大，势能最大，而在波腹处相对形变为零，势能为零，因此势能集中在波节附近。,当各质元都同时通过平衡位置时，各质元的相对形变都为零，即势能为零，全部能量都是动能。,56,驻波的能量,因此驻波无所谓传播方向，不传播任何能量，实质上这是介质的一种特殊的振动形态，而不是作为能量传播过程的波。为了区别一般的波与驻波，往往将前者称为行波。,势能集中在波节附近；动能集中在波腹附近。,可见在介质振动的过程中动能和势能不断转换。在转换过程中能量不断地从波节附近集中在波腹附近，再由波腹附近集中到波节附近。,由于叠加成驻波的两列波能流密度的数值相等，方向相反，因而在振动过程中没有能量沿某一方向传播，能流密度为零。,57,驻波的形成通常是在前进波与反射波相干涉的情况下发生的，例如绳的一端固定，音叉振动时在固定点产生反射波，入射波与反射波相干涉后就使细绳上产生驻波，波的反射处是一波节。,一般情况下反射处是波腹还是波节与两种介质的密度有关，密度大的介质称为波密介质；密度小的介质称为波疏介质。如波从较密的介质反射而回到较疏的介质时反射处形成波节，反之形成波腹。,58,波疏介质波密介质,59,波疏介质-波密介质,60,例如声波从水面返回空气时，由于水的密度大于空气的密度因而反