概率论课件第五章

第五章大数定律与中心极限定理,1大数定律,2中心极限定理,1大数定律,2中心极限定理,第五章,大数定律与中心极限定理,本章是关于随机变量序列的极限理论。,目的是从理论上对第一章中提出的“频率的,稳定性”给出严格的数学证明。,大数定律：对于随机变量序列,描述其平均值,在什么条件下以什么形,式呈现出稳定性。,大数定律,第五章,第一节,一、切比雪夫Chebyshev不等式,二、几个常见的大数定律,定义1,或,不等式,成立，,则称此式为切比雪夫不等式。,存在，则对任意,证明设X为连续性（离散型类似），其密度为,设随机变量X的数学期望,命题（切比雪夫Chebyshev不等式）,则,注：Chebyshev不等式对随机变量在以,的一个邻域外取值的概率给出了一个上界,为中心,可见D(X)越小，事件,的概率越接近1。,X的值密集在其数学期望附近的概率越大。,例如：对未知分布X，取,例1一电网有1万盏路灯，,晚上每盏灯开的概率为0.7.,求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?,解设X为同时开的灯数。,由二项分布,用切比雪夫不等式,已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数,解设每毫升白细胞数为X,依题意，EX=7300,DX=7002,所求为,由切比雪夫不等式,估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率.,平均是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式,例2,即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。,大数定律的客观背景,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大量抛掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,几个常见的大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,则,即对任意的0，,设X1,X2,是一列相互独立的随机变量序列，,它们都有相同的数学期望,证明,由切比雪夫不等式得：,所以,其取值接近于其数学期望的概率接近于1.,当n充分大时，,差不多不再是随机的了，,注：,定理2（辛钦定律）,辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要,独立同分布就可以了。,定理3（伯努利大数定律）,证明引入随机变量,显然,且,又由于各次试验相互独立，所以,独立同分布,则由辛钦大数定律可得,例3如何测量某一未知的物理量a,使得误差较小？,解在相同的条件下测量n次，其结果为,，它们可看成是相互独立、相同分布的,随机变量，并且有数学期望为a.于是由辛钦大数定律,可知，当,时，有,因此我们可取n次测量值,的算术平均值,作为a得近似值，即,当n充分大时误差很小。,例4如何估计一大批产品的次品率p？,由伯努利大数定律可知，当n很大时，可取频率,作为次品率p的估计值。,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,平均结果的稳定性,请看：高尔顿订板试验,自上端放入一个小球，任其自由落下，在下落的过程中小球碰到钉子是从左边落下的概率p=0.5，碰到下一排钉子也是如此，最后落入底板中的某个格子中，任意放入一个球，此球落入那个格子中预先难以确定。但实验表明，放入大量的球，则其最后呈现的曲线总是类似。,中心极限定理：对于随机变量序列,其部分和,在什么条件下以正态分布为极限,分布。,中心极限定理,第五章,第二节,独立同分布的中心极限定理,棣莫佛-拉普拉斯定理,则这种量X一般都服从或近似服从正态分布。,观察表明：,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所,造成，,而每一个别因素在总影响X中所起的作用不大。,定理1（独立同分布的中心极限定理）,且具有相同的期望和方差,则对任意实数x,有,设为一列独立同分布的随机变量，,即,，或,例题某人要测量甲、乙两地之间的距离。,限于测量,工具，分成1200段独立测量。,每段测量误差（单位,厘米）服从于（-0.5,0.5)上的均匀分布。求总距离误,差的绝对值超过20厘米的概率。,解设第k段的测量误差为,且,是独立同分布的随机变量。且,累计误差即总距离误差为,由定理1可得,根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi独立，,16只元件的寿命的总和为,解设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),例2,由于E(Y)=1600,D(Y)=160000,由中心极限定理,近似N(0,1),1-,下面介绍定理1的特殊情况。,定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）DeMoivre-Laplace,设随机变量服从参数为,的二项分布,则对任意的x，有,即,或,所以,其中,相互独立，且都服从（0-1）分布。,由独立同分布的中心极限定理可得,证因为,棣莫佛拉普拉斯定理指出二项分布的极限分布为正态分布。,高尔顿板可以看作是伯努利试验的实验模型。如,果我们把小球碰到钉子看作一次实验，而把从左边落下,伯努利试验。小球从顶端到底层共需要经过n排钉子，,这就相当于一个n次伯努利试验。小球的高度曲线也,就可以看作二项分布随机变量的概率分布函数。因此，,中心极限定理解释了高尔顿板小球累积高度曲线为什么,是正态分布独有的钟形曲线。,算是成功，从右边落下看作失败，就有了一次p=0.5的,推论：,设随机变量,当n充分大时有：,这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法。,例3报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报,的概率为0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童,向100位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率。,解设报童卖掉报纸的份数为X，,例4有100台车床彼此独立地工作。每台车床的实,际工作时间占全部工作时间的80，求下列事件的,概率。,1、任一时刻有7086台车床工作。,2、任一时刻有80台以上车床工作。,解设任一时刻工作的车床台数为X。,例题某校有学生5000人，有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校总务处提议增设水龙头。如经调查，发现傍晚5点每个学生一般有1的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，请问：1未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？2需至少要装多少个水龙头，才能以95以上的概率保证不拥挤？,解1.设学生同时用水龙头数为X，则,我们采用近似计算,拥挤的概率竟达到0.7611。,1未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？,由德莫佛-拉普拉斯定理得,解2.要求m，使得即,查表得,故需要装62个水龙头。,由单调性可求得,2需至少要装多少个水龙头，才能以95以上的概率保证不拥挤？,问题的变形：,1需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？2若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问结果如何？3若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则1，2两问结果如何？,例题某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间,要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独,立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以,上的概率保证分机用外线时不等待？,解设有X部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。由题意有,由定理2得,其中,故N应满足条件,例题利用契比雪夫不等式,中心极限定理,分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出现“正面,向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9。,解,