高考数学一轮复习专题15导数与函数的极值、最值（含解析）.docx

专题15导数与函数的极值、最值最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).重点难点突破【题型一】用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值【典型例题】函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点故选：C【再练一题】已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么（）A1是函数f（x）的极小值点B1是函数f（x）的极大值点C2是函数f（x）的极大值点D函数f（x）有两个极值点【解答】解：根据函数f（x）的导函数f（x）的图象可知f（1）0，f（2）0但当x1时，f（x）0，1x2时，f（x）0，x2时，f（x）01不是极值点，2是函数f（x）的极大值点故选：C命题点2求函数的极值【典型例题】设f（x）x3x22x+5（）求函数f（x）的单调区间（）求极值点与极值【解答】解：（I）f（x）x3x22x+5，f（x）3x2x2，令f（x）0即3x2x20解得x（，）（1，+）令f（x）0即3x2x20解得x（，1），故函数在，（1，+）上为单调递增区间，在上为单调递减区间（II）由f（x）0，即3x2x20解得x或x1，当x变化时，f（x），f（x）的变化如下表：x（，） （，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值当x1时，f（x）取得极小值，当x时，f（x）取得极大值【再练一题】已知函数f（x）（x2mxm）ex+2m（m2，e是自然对数的底数）有极小值0，则其极大值是（）A4e2或（4+ln2）e2+2ln2B4e2或（4+ln2）e2+2ln2C4e2或（4+ln2）e22ln2D4e2或（4+ln2）e22ln2【解答】解：由题意知，f（x）x2+（2m）x2mex（x+2）（xm）ex由f（x）0得，x12，x2m，因为m2，所以函数f（x）在区间（m2）和（m，+）内单调递增，在区间（2，m）内单调递减于是函数f（x）的极小值为f（m）0，即x2（m2m2m）ex+2m0，m（2ex）0，解得m0或mln2，当m0时，f（x）的极大值为f（2）4e2当mln2时，f（x）的极大值为f（2）（4+ln2）e2+2ln2故选：A命题点3根据极值求参数【典型例题】已知函数在区间（1，+）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（）ABCD【解答】解：函数，f（x）x2+2ax2，函数在区间（1，+）上有极小值无极大值，f（x）x2+2ax20在区间（1，+）上有1个实根，（，1上有1个根，解得a故选：A【再练一题】已知x函数f（x）xln（ax）+1的极值点，则a（）AB1CD2【解答】解：函数f（x）xln（ax）+1，可得f（x）ln（ax）+1，已知x函数f（x）xln（ax）+1的极值点，可得：ln（a）+10，解得a1，经验证a1时，x函数f（x）xln（ax）+1的极值点，故选：B思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性【题型二】用导数求函数的最值【典型例题】函数f（x）ex2x的最小值为 【解答】解：f（x）ex2，令f（x）ex20，解得xln2可得：函数f（x）在（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增xln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）22ln2故答案为：22ln2【再练一题】已知函数，其导函数f（x）为偶函数，则函数g（x）f（x）ex在区间0，2上的最小值为（）A3eB2eCeD2e【解答】解：由函数的解析式可得：f（x）x2+2mx+n，导函数为偶函数，则m0，故，n3函数的解析式为，故g（x）ex（x23），g（x）ex（x23+2x）ex（x1）（x+3），据此可知函数g（x）在区间0，1）上单调递减，在区间（1，2上单调递增，函数g（x）的最小值为g（1）e1（123）2e故选：B思维升华 求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【题型三】函数极值和最值的综合问题【典型例题】已知函数f（x）ax2+bx+clnx（a0）在x1和x2处取得极值，且极大值为，则函数f（x）在区间（0，4上的最大值为（）A0BC2ln24D4ln24【解答】解：函数的导数f（x）2ax+bf（x）在x1和x2处取得极值，f（1）2a+b+c0 f（2）4a+b0 ，f（x）极大值为，a0，由函数性质当x1时，函数取得极大值为，则f（1）a+b+cln1a+b，由得a，b3，c2，即f（x）x23x+2lnx，f（x）x3，由f（x）0得4x2或0x1，此时为增函数，由f（x）0得1x2，此时f（x）为减函数，则当x1时，f（x）取得极大值，极大值为，又f（4）812+2ln44ln24，即函数在区间（0，4上的最大值为4ln24，故选：D【再练一题】设函数f（x）lnxx+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间上的极值及最值【解答】解：（1）f（x）lnxx+1，x0，f（x）1，令f（x）0，解得x1，当f（x）0，即0x1，函数f（x）单调递增，当f（x）0，即x1，函数f（x）单调递减，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，（2）由（1）可知，f（x）在，1）上单调递增，在（1，2上单调递减，当x1时，函数有极大值，极大值为f（1）0，极大值即为最大值，即最大值为0，f（）ln2，f（2）ln21，由于ln2ln2+12ln20，f（）f（2），f（x）minln21思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值基础知识训练1【重庆市第一中学校2019届高三下学期第三次月考】设函数，则（ ）A为的极大值点B为的极小值点C为的极大值点D为的极小值点【答案】D【解析】因为，所以，由得，所以，当时，故单调递增；当时，故单调递减；所以函数在处取得极小值，无极大值.故选D2【山东省日照实验高级中学2018-2019学年高二下学期第二次阶段性考试】函数的极值点是（ ）ABC或-1或0D【答案】B【解析】函数的导数为；令，解得：， ，令，解得：，函数的单调增区间为；令，解得：，函数的单调减区间为；所以当时，函数取极小值。故答案选B3【安徽省江淮名校2019届高三12月联考】已知函数与轴相切于点，且极大值为4，则等于（ ）A2B3C4D5【答案】B【解析】由题意时，是的极值，所以.因为取得极值为0，极大值为4，所以当时取得极大值，解得.所以，.故选B.4【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】设函数的极值点的最大值为，若，则整数的值为（ ）A-2 B-1 C0 D1【答案】C【解析】函数，求导得=0的根 ，设，得， =0的根 ，所以当x-2时，-2时，0, 所以递减，在递增. 所以在x=-2处取得最小值，所以,时， ，且 ，所以上递减，在 上递增.所以（-2,-1）使得（0,1）使得，所以 在上递减，在 上递增，在上递减. 所以x= 为极大值点，x= 为极小值点.的极值点的最大值为，若，所以 ，整数n=0.故选：C.5【福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试】已知函数有两个零点，则下列判断：；有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】D【解析】对函数求导：当a0时，f（x）exa0在xR上恒成立，f（x）在R上单调递增当a0时，f（x）exa0，exa0，解得xlna，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增函数f（x）exax有两个零点x1x2，f（lna）0，ae，elnaalna0，ae，不正确；函数的极小值点为要证，只要证 因为函数f（x）在（，）单调递减，故只需要证 构造函数 求导得到 所以函数单调递增，恒成立，即，故得到进而得证：，.故正确.又因为 根据，可得到.不正确.因为故不确定.综上正确的只有一个.故答案为：D.6【北京市第四中学2018-2019学年下学期高二年级期中测试】设函数，则（ ）A的极大值点在（1，0）内B的极大值点在（0，1）内C的极小值点在（1，0）内D的极小值点在（0，1）内【答案】A【解析】依题意，令，解得.当或时，当时，故函数在时取得极大值，在时取得极小值.故A选项正确.所以本小题选A.7【河南省洛阳市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)】若函数存在三个极值点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得： 可知为的一个零点若存在三个极值点，则只需有两个不等实根，且两实根均不等于即与有两个横坐标不等于的交点当与相切时，设切点坐标为：，又 ，由图象可知：时，有两个不等实根，且两实根均不等于若存在三个极值点，则本题正确选项：8【浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二（下)期中】可导函数在区间上的图象连续不断，则“存在满足”是“函数在区间上有最小值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据函数极值点的概念，可知满足，则不一定是函数的极值点，例如，其中，但不是函数的极值点，此时函数在上没有最小值.又由函数，其中当时，函数取得最小值.所以 “存在满足”是“函数在区间上有最小值”的必要非充分条件故选：B9【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测】已知函数的最小值为2，则_.【答案】1【解析】所以当时，单调递减；当时，单调递增所以，所以.10【云南省玉溪第一中学2019届高三上学期第四次月考】若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，f（x）x2+2xx（x+2），故f（x）在（，2），（0，+）上是增函数，在（2，0）上是减函数，作其图象如图，令x3+x2得，x0或x3；则结合图象可知，；解得，a3，0）；故选：C11【河北省沧州市2019届高三普通高等学校招生全国统一模拟考试】直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由；由；因此函数上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为12【山西省太原市2019届高三模拟试题（一)】已知函数若方程有两个不相等的实根，则的最大值为_.【答案】【解析】的图像如图所示：设1,则当单增，单减，故，即的最大值为故答案为13【天津南开中学第五次月考】函数在上的最大值是_.【答案】【解析】由题意，函数，可得函数的定义域为，又由，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为.14【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试】已知函数，若关于的方程个不同的实数解，则的所有可能的值构成的集合为_【答案】【解析】函数的导数为，由，得递增；由，得递减即有处取得极小值；在处取得极大值，作出的图象，如图所示:关于的方程，令，则，由判别式，方程有两个不等实根，则原方程有一正一负实根而，即当，则，此时的图象有两个交点， 的图象有1个交点，此时共有3个交点，当，则，此时的图象有1个交点，的图象有2个交点，此时共有3个交点，当，则，此时的图象有3个交点，的图象有0交点，此时共有3个交点，当，则，此时的图象有2个交点，的图象有1个交点，此时共有3个交点，当，则，此时的图象有1个交点， 的图象有2个交点，此时共有3个交点，当，则，此时的图象有0个交点，的图象有3个交点，此时共有3个交点，综上,方程恒有3个不同的实数解，即，即的所有可能的值构成的集合为，故答案为15【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】直线与直线和曲线分别相交于两点，则的最小值_【答案】2【解析】如图，设直线的交点为,直线的交点为,则的左侧，则所以设当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，故的最小值为16【山东省枣庄市2019届高三上学期期末考试】若正实数满足，则函数的零点的最大值为_.【答案】【解析】因为正实数满足，则函数的零点令 所以零点的最大值就相当于求的最大值令，所以函数是单调递减的，当t取最小值时，f(t)取最大值又因为，a+b=1所以 令， 令 ，解得，此时递增 ，解得，此时递减，所以此时 故答案为17【天津市红桥区209届高三第一学期期中】已知函数在处有极值。（）求、的值；（）在时，求函数的最值。【答案】()；()最大值为2，最小值为.【解析】()由函数的解析式可得：，则，即：，解得：.经检验符合题意.()由()可知：，令可得或，由于：，故函数的最大值为，函数的最小值为.18【湖南省衡阳市2019届高三第三次联考（三模)】已知函数存在极大值与极小值，且在处取得极小值. （1）求实数的值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.（参考数据：）【答案】（1）（2）【解析】解：（1）函数存在极大值与极小值，且在处取得极小值，,依题意知，解得或，当时，时，单调递减；时，单调递增，此时，只有极小值，不符合题意当时，,或时，单调递增；时，单调递减，符合在处取得极小值的题意，综上，实数的值为（2），当时，故在上单调递增，当时，令，则，单调递增，单调递减，,时，故在上单调递减，在上有两个零点，此时当时，在有一个零点，当时，令，在有一个零点，综上，实数的取值范围是19【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试】已知函数.（其中为自然对数的底数）（1）若恒成立，求的最大值；（2）设，若存在唯一的零点，且对满足条件的不等式恒成立，求实数的取值集合.【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，在上单调递增，取，当时，矛盾；当时，只要，即，此时； 当时，令，所以在单调递增，在单调递减，所以，即，此时，令，令，当，在上为增函数；当，在上为减函数所以，所以，故的最大值为 （2）在单调递减且在的值域为，设的唯一的零点为，则，即所以，由恒成立，则，得在上恒成立 令， 若，在上为增函数，注意到，知当时，矛盾；当时，为增函数， 若，则当时，为减函数，所以时，总有，矛盾；若，则当时，为增函数，所以时，总有，矛盾；所以即，此时当时，为增函数，当时，为减函数，而，所以有唯一的零点.综上，的取值集合为 20【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】已知函数，.（1）求在区间上的值域；（2）是否存在实数，对任意给定的，在存在两个不同的使得，若存在，求出的范围，若不存在，说出理由.【答案】（1）（2）满足条件的不存在，详见解析【解析】（1），时，单调递增，时，单调递减，在上值域为.（2）由已知得，且，当时，在上单调递增，不合题意。当时，在上单调递减，不合题意。当时，得。当时，单调递减，当时，单调递增，.由（1）知在上值域为，而，所以对任意，在区间上总有两个不同的，使得.当且仅当，即，由（1）得.设，当，单调递减，.无解.综上，满足条件的不存在.能力提升训练1【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】若存在两个正实数，使得等式成立（其中，是以为底的对数），则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】可化为 令 则， 函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减。即，则 故选C2【广东省揭阳市2019年高考数学二模】已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】由题意，函数关于原点对称的函数为，即，若函数的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则等价为在上有解，即，在上有解，由，则，当时，此时函数为单调增函数；当时，此时函数为单调减函数，即当时，取得极小值同时也是最小值，且，即，当时，即，设，要使得有解，则当过点 时，得，过点时，解得，综上可得故选：C3【广东省广州市2019届高三第二次模拟考试】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.4【广东省湛江市2019年普通高考测试（二)】已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】易知单调递增，则，故为奇函数，当时，不等式恒成立等价为即恒成立，故在时恒成立当x=0时，0恒成立，a当x0时，,设则设则单增，又，则当0x1,故即，故单调递增，当x,故，综上故选：C5【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测】若函数为自然对数的底数有两个极值点，则实数a的取值范围是ABCD【答案】A【解析】，令，则，若，则上恒成立，故上的增函数，所以最多有一个零点即至多有一个极值点，舎；若，因，则，故有且只有一个实数根，设此根为当时，故为减函数，当时，故上为增函数，故，因，故，设，则的增函数且，故的解为，因，而是单调增函数，故，故选：A6【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（ ）ABCD【答案