第一章 概率论的基本概念

概率论与数理统计,上海大学理学院数学系,使用教材：,浙江大学盛骤谢式千潘承毅编,1.概率统计同济大学概率统计教研组编,2.概率统计复习和解题指导,参考书：,概率论与数理统计（第三版）,同济大学工程数学教研室编,教学内容,第一章概率论的基本概念,第二章随机变量及其分布,第三章多维随机变量及其分布,第四章随机变量的数字特征,第五章大数定律及中心极限定理,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(b0，则有,例3：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拔号.求他拔号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？,解：,则拔号不超过三次而接通的概率为,例3：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拔号.求他拔号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？,解：,若已知最后一个数字是奇数，则拔号不超过三次而接通的概率为,例4：10张考签中有4张难签，2人参加抽签考试。不重复地抽取，每人一次，甲先，乙后。证明两人抽到难签的概率相等。,证明：,设A，B分别表示甲，乙抽到难签,（三）全概率公式和贝叶斯公式,定义：,设S为试验E的样本空间，,为E,的一组事件，若,则称,为样本空间S的一个划分。,若,为样本空间S的一个划分，,那么，对每次试验，,事件,中必有一个,且仅有一个发生。,例如，设试验E为“掷一棵骰子观察其点数”。,它的样本空间为S=1,2,3,4,5,6.,E的一组事件B1=1,2,3,B2=4,5,B3=6是S的一个划分。,而事件组C1=1,2,3,C2=3,4,C3=5,6不是S的划分。,定理：,设试验E的样本空间为S，,A为E的事件，,为S的一个划分，,则,上式称为全概率公式。,证明：,得到,证毕,由此可得另一个重要的公式。,定理：,设试验E的样本空间为S，,A为E的事件，,为S的一个划分，,则,上式称为贝叶斯(Bayes)公式。,例1：有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。,解：,设A表示“从甲袋中取出一个白球”，,B表示“从乙袋中取出一个白球”，,所以所求概率为,例2：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号及。由于通信系统受到干扰，当发出信号时，收报台分别以概率0.8及0.2受到信号及。又当发出信号,收报台分别以概率0.9及0.1受到信号及。求当收报台受到时，发报台确系发出信号的概率。,解：,设A表示“发报台发出信号”，,B表示“收报台收到信号”，,则所求的概率为,例3：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而机器发生故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？,解：,设A表示事件“产品合格”，,B表示事件“机器调整良好”。,则所求的概率为,这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0.97。这里，概率0.95是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率。而在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即0.97）叫做后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。,例4：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即试求,解：,由贝叶斯公式得,说明：,表示试验结果呈阳性的被检查者确实患有癌症的可能性并不大。,我们还可计算得到：,表示试验结果呈阴性的被检查者未患癌症的可能性极大。,第六节独立性,我们知道，在一般情况下,但在某些情况下，它们是相等的。,例如：,一口袋中有8只红球和2只白球，从袋中连续地取两次球，每次取一只，然后放回。,若A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”。则,这里，A的发生不影响B发生的概率。,从直观上讲，这很自然。在这种场合可以说，A与B出现与否有某种“独立性”。,定义：,设A,B是两事件，如果满足等式,则称事件A,B相互独立，简称A,B独立。,易证，,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。,定理1：,设A,B是两事件，则有,定理2：,独立性的推广：,设A,B,C是三个事件，如果满足下列四个等式,则称事件A,B,C相互独立。,更一般地，,如果对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称这n个事件相互独立。,由定义，可以得到以下两个推论：,例1：电路由电池A,B,C如图构成。设电池A,B,C损坏与否是相互独立且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.2。求这电路的可靠性。,A,B,C,电路的可靠性是指电路能正常工作的概率。,解：,设A,B,C分别表示电池A,B,C正常工作这三事件,D表示电路正常工作这一事件。,例2：设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。,解：,击不沉潜水艇的概率P=,所以施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率为,例3.设第一只盒子中装有3