§2.8 线性代数法建模

2.8线性代数法建模,一、常染色体遗传模型,随着人类的进化，科学家为了揭示生命的奥秘，越来越重视遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们极大关注.事实上，无论是人，还是动、植物，都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成了自己的基因对.而基因对确定了后代所表现的特征.试就常染色体遗传问题，根据亲体基因遗传给后代的方式，建立遗传数学模型，求出逐代总体的基因型的概率分布，特别是极限分布.,亲体基因遗传方式与问题,遗传方式,在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型.,如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种可能的基因对，分别记为AA，Aa与aa,例如,后代基因发生的概率,由于后代均可以从Aa型中等可能地得到基因A与a，于是由概率的“加法、乘法公式”得：,一般地，利用简单的概率计算，可得双亲体基因型的结合及后代基因型的概率分别表.,0,1,1/2,0,1/2,0,1,0,0,1/4,1/2,1/4,0,1/2,0,1,1/2,0,问题,某农科所计划采用aa型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，求经过若干年后，这种植物任一后代的三种基因型AA,Aa,aa的概率分布.,模型假设,第n-1代与第n代的基因型分别关系由上表确定.,模型建立,由假设及双亲体基因型结合及其后代基因型概率分布表，运用全概率公式，得：,把上述关系整理为方程组的形式：,他表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M确定.,模型求解,为了计算Mn,需先将M对角化.,即在极限的情况下，培育的后代都是aa型.,模型讨论,在上述问题中，若是具有相同基因型植物结合，后代的概率分布又如何呢？,相同基因型结合之后代基因型的概率分布,类似地，通过计算可求得相应的特征向量：,结果表明，如果用相同基因型植物培育后代，在极限情况下，后代仅有基因AA型和aa型.,二、投入产出模型,背景介绍,投入产出分析是线性代数理论与方法在经济分析与管理中的一个重要应用，它从数量上考虑经济系统内部各部门间生产和分配的线性关系.投入产出分析方法也称为投入产出法或投入产出技术，这一方法是美国经济学家、哈佛大学行政管理学院列昂节夫教授于20世纪30年代首先提出的.列昂节夫也因提出此方法获得了1973年的诺贝尔经济学奖.,投入产出分析是研究一个经济系统（企业、地区、国家等）中各部门之间“投入”与“产出”的数量关系，建立相应的数学模型.这种数学模型可以用于分析中观或宏观经济部门之间的联系，也可用于分析中观或微观的经济系统，并进行预测.,一般的投入包括（1）从其他部门购进原料、能源、半成品、辅助材料等；（2）购进适当的机器设备及生产工具等；（3）投入一定数量具有一定技能的劳动力。这三部分的总和称为经济活动中的投入。一般产出包括：在一定投入条件下，从事某种经济活动时所产生的一定数量的成果。投入产出按计量单位不同，可分为：价值型和实物型。在价值型中，各部门的投入、产出以货币单位表示；在实物型中，则以产品的事物单位表示（如米、公斤、量、台等）。,投入产出综合平衡模型,设某地区经济系统仅由农业、工业和服务业三个部门构成，已知基于某年它们之间生产分配功效的体积数据如下表所示：,部门间投入产出表（单位：万元）,试就投入产出综合平衡建立数学模型，并对下一年的经济发展进行预测和分析.,表中所研究的农业、工业、服务业三个部门都具有双重身份：生产部门和消耗部门。第一行数字：27+44+2+120=193表示农业总产出为193万元，其中27万元用于农业本身，44万元用于工业，2万元用于服务业，剩下的120万元用来满足最终需求（包括消费、积累、出口等）第一列数字：27+58+23+85=193表示农业对农业的投入为27万元，工业对农业的投入为58万元，服务业对农业的投入为23万元，85万元是农业新创造的价值（包括工资、税收等）,表格分析,1）每个生产部门只生产一种产品，不同部门的产品不能互相代替；2）每个部门在生产过程中至少要消耗另一个部门的产品（也称为另一部门对该部门的投入），所消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产量成正比。以下标1，2，3分别表示农业、工业和服务业；,模型假设,模型建立,产品分析平衡方程组部门j对部门i的直接消耗系数或投入系数：例2.xls直接消耗系数矩阵:,这里a12=0.0018表示生产1个单位产值的工业产品需消耗0.0018个单位产值的农产品；a31=0.1192表示生产1个单位产值的农产品需消耗0.1192个单位的服务业产值.,利用直接消耗系数矩阵，可将产品分配平衡方程组表示成矩阵形式.,其中I为三阶单位方阵,若考虑新创造价值，记zj为部门j的新创造价值，则得产值构成平衡方程组：,这就是（静态）投入产出分析的基本数学模型之二.,模型求解,利用投入产出分析的基本数学模型，可以进行更为深入的经济分析.为此，首先讨论直接消耗系数矩阵的性质.,模型应用