高考数学第8章立体几何初步第6节空间向量的应用模拟创新题理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第8章 立体几何初步 第6节 空间向量的应用模拟创新题 理一、选择题1.(2016云南丽江模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为()A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对解析建立如图所示空间直角坐标系，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0).(，1，)，(，2，0).(，1，)(，2，0)0.，即AMPM.答案C2.(2015长沙模拟)有以下命题：如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；O，A，B，C为空间四点，且向量，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量ab，ab，c也是空间的一个基底.其中正确的命题是()A.B. C.D.解析对于，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以错误，正确.答案C3.(2016莆田模拟)已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A.B. C.D.解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，解得答案D4.(2014山东青岛调研)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在上，且，N为B1B的中点，则|为()A.B. C.D.解析如图，设a，b，c，则abbcca0.由条件知(abc)acabc，2a2b2c2，|.答案A二、填空题5.(2014山东寿光模拟)已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_.解析ba(1t，2t1，0)，|ba|，当t时，|ba|取得最小值为.答案三、解答题6.(2016吉林四平模拟)如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离.证明(1)如图，连接OP，易知OB，OC，OP两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(4，0，3).由题意，得G(0，4，0)因为(8，0，0)，(0，4，3)，所以平面BOE的一个法向量为n(0，3，4).由(4，4，3)，得n0，即n.又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0，y0，0)，则(x04，y0，3).所FM平面BOE，所以n.因此x04，y0，即点M的坐标是(4，0).在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域可表示为不等式组 经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在AOB内存在一点M, 使FM平面BOE.由点M的坐标得点M到OA，OB的距离分别为4，.创新导向题利用空间向量证明线线垂直及求直线与平面所成的角问题7.已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点.(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小.解设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，M，N，S.(1)证明00.，即CMSN.(2)，设a(x，y，z)为平面CMN的法向量，则令x2，得a(2，1，2)，所以|cosa，|，故SN与平面CMN所成角的大小为45.专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2015福州模拟)若两点的坐标是A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|AB|的取值范围是()A.0，5B.1，5 C.(0，5)D.1，25解析A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，|AB|，|AB|5，即1|AB|5，故选B.答案B二、填空题9.(2014海口模拟)已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5).则以，为边的平行四边形的面积为_.解析由题意可得：(2，1，3)，(1，3，2)，cos，.由于，0，sin，.以，为边的平行四边形的面积S2|sin，147.答案7三、解答题10.(2015河南商丘模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.(1)求证：C1B平面ABC；(2)设(01)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30，试求的值.(1)证明因为AB平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以ABBC1，在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160，由余弦定理得：BCBC2CC2BCCC1cosBCC11222212cos 603，所以BC1，故BC2BCCC，所以BCBC1，又BCABB，C1B平面ABC. (2)解由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直.以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，C1(0，0，)，B1(1，0，).所以(1，0，), 所以(，0，)，E(1，0，)，则(1，1，)，(1，1，).设平面AB1E的一个法向量为n(x，y，z)，则得令z，则x，y，n，AB平面BB1C1C，(0，1，0)是平面的一个法向量， |cosn，|.两边平方并化简得22530，所以1或(舍去).1.11.(2015山东青岛一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分别是CE和CF的中点.(1)求证：平面BDGH平面AEF；(2)求二面角HBDC的大小.(1)证明在CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点.所以GHEF，又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.设ACBDO，连接OH，因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，所以OHAF，又因为OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF.又因为OHGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(2)解取EF的中点N，连接ON，因为四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，所以ONED，因为平面BDEF平面ABCD，所以ED平面ABCD，所以ON平面ABCD，因为ABCD为菱形，所以ACBD，得OB，OC，ON两两垂直.所以以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系.因为底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，BF3，所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，E(1，0，3)，F(1，0，3)，C(0，0)，H，所以，(2，0，0).设平面BDH的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(0，1).由ED平面ABCD，得平面BCD的法向量为(0，0，3)，则cosn，.结合图形知二面角HBDC的大小为60.创新导向题利用空间向量求二面角问题12.如图，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点.将PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD.(1)求证：平面PCD平面PAD；(2)求二面角GEFD的大小；(3)求三棱锥DPAB的体积.(1)证明PD平面ABCD.CD平面ABCD，PDCD.又ABBCAPAD，APAB，四边形ABCD为正方形，CDAD.又PDADD，CD平面PAD.CD平面PCD，平面PCD平面PAD.(2)解如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则G(2，1，0)，E(1，0，1)，F(0，0，1)，(1，0，0)，(1，1，1).设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，即 取n(0，1，1).取平面PCD的一个法向量(0，1，0)，cos，n.结合图知二面角GEFD的大小为45.(3)解三棱锥DPAB的体积VDPABVPDABSABDPD222.利用空间向量证明线线垂直及二面角中的探索性问题13.直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1.E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点.(1)证明：DFAE；(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.(1)证明AEA1B1，A1B1AB.AEAB.又AA1AB，AA1AEA，AB平面A1ACC1，又AC平面A1ACC1，ABAC.以A为原点建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则有A(0，0，0)，E，F，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，设D(x，y，z)，且0，