计算流体力学part1(基础知识1)ppt课件

.,流体运动的基本方程,11预备知识12流体运动的基本方程13相对坐标系中流体运动的基本方程14正交曲线坐标中流体运动的基本方程,.,11预备知识,一、向量分析初步1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积点积：（数量积）,（1）,（2）,.,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积叉积（向量积）：,（3）,（4）,几何意义：平行四边形的面积（有向面积）,.,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积混合积（向量数量积）：,（5）,（6）,置换公式：,.,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积混合积（向量数量积）：物理意义：设,.,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积二重向量积：,（7）,是一向量，方向垂至于向量和向量所构成的平面,.,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积,（8）,（9）,二重向量积的分解式,.,一、向量分析初步,1、向量的点积、叉积、混和积、二重向量积练习：试证,.,一、向量分析初步,2、向量函数对于数变量的导数,向量函数：,.,一、向量分析初步,2、向量函数对于数变量的导数,.,一、向量分析初步,2、向量函数对于数变量的导数,（10）,结论：向量导数在坐标轴上的投影等于相应的向量投影的导数。向量的导数在几何上为一切向矢量。,.,一、向量分析初步,2、向量函数对于数变量的导数一个流体微团在空间的位置可用坐标确定，也可用向径确定：,经过时间，流团运动到新的位置：,流体微团速度为：,（11）,.,一、向量分析初步,3、数量场的梯度若在数量场中的一点处，存在着矢量，其方向为函数在点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量为函数在点处的梯度，记作即：，在直角坐标系中：,（12）,.,性质1：方向导数等于梯度在该方向上的投影，即：,或：,（13）,性质2：数量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数增大最快的方向。,一、向量分析初步,.,4、向量场的通量及散度,通量：设流速场，穿过面元的流量为：,对任一向量场，沿其中某一有向曲面的曲面积分：,在单位时间内，穿过的流量为：,叫做矢量场向正侧穿过曲面的通量。特别当为封闭曲面时,（14）,（15）,一、向量分析初步,.,一、向量分析初步,4、向量场的通量及散度,散度：设有矢量场，于场中一点处作一包含在内的任一闭曲面，设其所包围的空间区域为，以表其体积，以表其从内穿出的通量，若当以任意方式缩向点时，比式：,（16）,极限存在，则称此极限为向量场在点处的散度，记作,.,一、向量分析初步,4、向量场的通量及散度,是一数量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度。正源，负源，无源。的场称之为无源场（如不可压流体，对单位体积流团来说，流进流出）,（17）,在直角坐标下，,奥氏公式（通量和散度之间的关系）,（18）,.,一、向量分析初步,5、向量场的环量及旋度,环量：设有向量场，则沿场中某一封闭的有向曲线的曲线积分,（20）,叫做此向量按所取方向沿曲线的环量。如在力场中，就是沿封闭路所做的功。环量密度：若极限,（19）,存在，则称之为矢量场在点处沿方向的环量面密度（亦即环量对面积的变化率）。Note：环量面密度与法矢有关，即与有关，也就是与面元有关；环量面密度是一标量。,.,一、向量分析初步,5、向量场的环量及旋度,旋度：若在矢量场中的一点处存在这样的一个矢量，使得矢量场在点处沿方向的环量面密度为最大，这个最大的数值正好就是，则称矢量为矢量场在点处的旋度，记作，即，简言之，旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度。矢量场中的旋度相当于标量场中的梯度。,在直角坐标系中：,（21）,.,一、向量分析初步,5、向量场的环量及旋度,有旋运动，无旋运动。应当指出，流体微团是否作有旋运动，需视微团是否围绕着通过流体微团的瞬时轴旋转，而并非决定于流体微团轨迹的几何形状。流体微团速度：,斯托克斯公式（环量和旋度之间的关系）,（22）,旋度矢量沿任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即,.,一、向量分析初步,6、哈密尔顿算子（hamiltonoperator）,记称之为哈密尔顿算子,.,一、向量分析初步,6、哈密尔顿算子（hamiltonoperatoz）,Note:是一个矢性微分算子，因此它在计算中具有矢性和微分的双重性质。作为微分只作用于右边，如,微分运算规则同样适用；作为矢量。计算时，先作微分运算，后矢量运算。,例：试证：,证：,.,一、向量分析初步（作业一）,.,11预备知识,二、数量场与向量场的微分,设有数量场，在瞬时，点的数量函数值为。考虑在瞬时，与点相邻的点的函数值时，点的函数值可表示为：,.,二、数量场与向量场的微分,-在时间间隔内由于非定常性引起点函数的变化。,-由于在同一时刻，场内位置不同（由矢径变为）所引起的函数的变化。,故：函数在时间间隔内，、两点的总变化为。对于定常场：,.,二、数量场与向量场的微分,对于矢量场，根据（10）式,（23）,同理可得：,（24）,.,三、流动导数（随体导数，物质导数）,流场中，用代表速度向量函数，代表密度和温度，则在非定常流动中，任一点，仍可用求其微分但此时，已不再是任意的向径增量了，而是代表流体微团沿其轨迹在时间间隔内所运动的距离，因而是有物理意义的，它表示流体微团运动的速度，即：，或者。,.,三、流动导数（随体导数，物质导数）,对密度：,对速度：加速度,故流动导数的通式可表达为：,*代表任一物理量，如速度、密度、温度等流体运动的力学属性（标量或矢量）,-流场中的速度,（25）,.,三、流动导数（随体导数，物质导数）,置换时间导数或换位导数、迁移导数,局部时间变化率是由于流场的非定常性而引起某固定点上参数的变化，而换位导数是由于在时刻位置的变化而引起的流体参数的变化。在定常流动中，局部时间变化率为零。,总流动导数或全流动导数（拉格朗日观点）,局部时间变化率或局部导数,.,四、函数积分的随体导数,设标量函数为体积内任一标量分布函数，对于体积有体积分,定义随体导数为：（拉格朗日观点）,考虑到即可随时间而改变，也可由于体积的变化而变化，因此,（26）,.,四、函数积分的随体导数,（26）式右手第一项是由于的不恒定性所引起的整个控制体内所含物理量在单位时间里的增量。第二项表示在单位时间内，通过流体控制体表面而引起的控制体内物理量的变化，也就是系统由一个位置流到另一个位置时，由于流场的不均匀性引起的的迁移变化率，故上式与流动导数本质上相同的，只不过体积分的随体导数是以系统的流动作为研究对象，而流动导数是以流体质点作为研究对象，所以可以说，体积分的随体导数是流体质团（系统）的流动导数，是用欧拉导数表示一个流体微团的拉格朗日变化率。,.,四、函数积分的随体导数,显然对不可压缩流动：,.,四、函数积分的随体导数,类似地，对于矢量函数，有：,对不可压缩流体,.,四、函数积分的随体导数,结论：,*为任一流场参数（向量、标量）上式通常称为体积分的随体导数，或称为雷诺输运方程（Regnoldstransportequation）,（27）,对不可压缩运动：,（28）,.,四、函数积分的随体导数,讨论：连续方程：连续方程是质量守恒原理在流体运动中的表现形式，系统的质量为：,质量守恒要求：,根据雷诺输运方程：,由于的任意性，有连续方程；,（29）,对不可压缩流体，在场内处处,（30）,.,四、函数积分的随体导数,雷诺第二输运方程：应用上述体积分地随体导数,同理，对于矢量,即雷诺第二输运方程：,（31）,.,12流体运动的基本方程,一、连续方程（continuityequation）,（1）,（2）,或者：,对于定常流动,（3）,（4）,对于不可压流动,.,二、运动方程（动量方程momentumequation）,运动方程是动量守恒原理在流体运动中的表现形式。运动着的流体微团的动量可表示为：,（5）,动量守恒原理要求流体系统的动量变化率等于作用于该系统上的全部作用力，即：,作用在流体微团上的力包括：体积力（bodyforce）（包括质量力）：指作用在流体微团上的非接触力，例如地心引力、磁流体中的磁力等。这种力可以穿透到流体的内部而作用于每一个流体质点上。体积力可表示为，其中为单位质量力，对于体积为的流体微团，体积力为。,.,面积力（Surfaceforce）：流体或固体通过接触面而施加在另一部分流体上的力。它是流体在运动过程中，作用在流体内部假想的面积上的由于流体的变形和相互作用而在流体内部产生的各种应力，或者是流动的固体边界对流体施加的面积力。,对于静止的流体，作用于平衡面积的面积力（应力）永远沿着作用面的内法线方向，而且其大小与作用面所处的方位无关，也就是说一点的静压力各个方向相等。对于理想流体，由于不计粘性，没有切向力，因而动压力也垂直作用面，而且各个方向相等。,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,如果作用面垂直于坐标系上的任一坐标轴，则应力可以分解为三个分量：一个法向应力；另外两个与作用面相切的切向应力（切应力），方向分别平行于另外两个坐标轴。如图所示。约定：第一个下标表示与应力作用面垂直的坐标轴，即应力作用面的法线方向。第二个下标表示该作用面上应力在哪一个坐标轴面的分量，即应力投影方向。,对于粘性流体，由于粘性的存在，可以有切向力，因而单位面积上的表面力（应力）就不一定垂直于作用面，而且各个方向的大小也不一定相等。,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,一点的应力状态常用应力张量(stresstensor)来表示。下标表示作用面的外法线方向；表示面积力的方向，为空间点坐标及时间的函数。,为二阶张量，可以证明为对称张量，即,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,设单位面积上的面积力为，则是空间坐标，时间以及作用面外法线方向的函数，令：,则有，单位面积上的面积力为,（单位法向量）,（6）,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,故：作用于流体微团上的面积力为：,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,于是，动量方程可表示为：,将此式代入上述方程，由于的任意性，有微分形式的动量方程：,根据雷诺第二输运方程：,（8）,（7）,此式为矢量形式的动量方程，加速度,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,方程的封闭问题在质量力已知的情况下，对于不可压缩流体有9个未知量，三个速度分量和6个应力分量，而仅有四个方程（三个分量的运动方程和一个连续方程），不足以解9个未知量（对于可压缩流体，虽然多了一个未知函数，但可以多一个热力学方程，不影响上述分析）。,因此，需引用广义牛顿定律即本构方程：,（9）,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,本构方程中各参量的意义：,称为变形率张量是一对称张量,单位张量,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,称为流体的粘性系数，是流体的一个物性参数。在一般情况下，取决于流体的种类，以及流体的温度和压力。对于工程问题来说，对压力的依赖可以忽略，对于给定的流体，通常，即仅是温度的函数。,称为膨胀粘性系数，因为方程中为，所以仅影响体膨胀率项对方程的影响。,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,粘性流体中的点压强，定义为三个方向正压力的平均值：,讨论：对理想流体：不论是静止还是运动，总有,因为粘性流体中，各方向的正应力可能不等。取负号是因为代表的是压力,帕斯卡,即只有正应力，没有切向力。平均压强等于点压强，而且各个方向相等。,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,在粘性流体中：根据的定义,此式表明，除非或者，否则：即粘性流动中一点的平均压强与理想流体中的点压强不同，通常称为容积粘度。,等式右边若用相当于理想流体的代入，并移项，则：,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,（a）对于单原子气体，且,(c)对不可压缩流体:,(b)对于双原子气体或多原子流体，通常，但一般均很小。但近年的研究结果表明，有些流体的很大，所幸的是这类流体一般很小，所以仍然认为Navier-Stokes假定成立，仍有：,故：广义牛顿定律表为：,或者,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,于是,动量方程为：,其中：是单位体积流体所受的质量力,这就是著名的N-S方程（基于Navier-Stokes假设），由法国学者Navier于1823年首先提出，英国学者Stokes于1845年完善。,是压力梯度。定义正应力的正方向是指向流体的外部，而本身指向流体内部为正，前面有一负号。的物理意义是单位体积流体所受压力的合力（正方向指向流体外部）,称为粘性变形应力，与及有关,称为粘性体积膨胀应力，由流体的体膨胀率引起,二、运动方程（动量方程momentumequation）,.,分量方程（用下标表示）：,是单位体积流体的质量与加速度的乘积，根据达朗贝尔原理，这一项