八年级等腰三角形培优竞赛课件.ppt

等腰三角形的性质培优,知识纵横,若按边（角）是否相等分类，则两边（角）相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形是一类特殊的三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合（简称三线合一），特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60度。解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径。,探索填空,1、等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为。2、已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有个。,72度或45度。,a+bc+b+ca=24,a、b、c均为整数,（a+b)(c+1)=24=212=38=46,故可以得到以下几种可能性：1、a+b=2,c+1=12,a=b=1,c=11,三角形不能组成；2、a+b=12,c+1=2,a=b=6,c=1,三角形能组成；3、a+b=8,c+1=3,a=b=4,c=2,三角形能组成；4、a+b=3,c+1=8,a=b=1.5,c=7,三角形不能组成；5、a+b=4,c+1=6,a=b=2,c=5,三角形不能组成；6、a+b=6,c+1=4,a=b=3,c=3,三角形能组成；,3,3、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为度。4、一个等腰三角形的一个外角等于110度，则这个三角形的顶角为度。5、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边长为cm.6、如图，在ABC中，点D是BC边上一点，BAD=80，AB=AD=DC，则C=度。,20或120,70或40,5cm,25,7、如图，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则ABC的大小是度。8、如图，在ABC中，AB=AC，AD=AE，BAD=60，则EDC的度数为度。9、如图，AM、BN分别是EAB、DBC的平分线，若AM=BN=AB，则BAC的度数为度。,45,30,12,设EDC=x,B=C=y,则AED=ADE=x+y,ADC=2x+y=60+y,2x=60,x=30,设BAC=x,N=x,NBD=2x,BN平分DBC,DBC=4x=ABM,AB=AM,M=4x,AM平分EAB,MAB=90-0.5x,4x+4x+90-0.5x=180,x=12,10、如图，在ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若BAM=NAC，则MAC=度。11、如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE=0.5（AB+AD），则ABC+ADC的度数是度。,设BAM=CAN=x,C=y,则B=180-2y,AMN=180+x-2y,ANM=x+y,MN=NA,MAN=AMN=180+x-2y,MAN+AMN+ANM=180360+2x-4y+x+y=180,y-x=60,MAC=MAN+NAC=180+2x-2y=180-120=60,60,延长AD，过C作CF垂直AD的延长线于F，AFCAEC，CF=CE，AF=AE，AE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AF=AD+DF,EB=DF,CDFCBE，B=FDC,ABC+ADC=180,180,分析选择,1、如图，在ABC中，ACB=90，AC=AE，BC=BF，则ECF=（）。A、60B、45C、30D、不确定2、如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么EDF等于（）。A、90-0.5AB、90-AC、180-AD、45-0.5A,设B=x,A=90-x,BCF=90-0.5x,ACE=45+0.5x,ECF=ACE+BCF-ACB=45,B,BDFBDE,则EDF=B=90-0.5A,A,3、如图，在ABC中，BAC=120，ADBC于D，且AB+BD=DC，则C的大小是（）A、20B、25C、30D、454、如图，在等腰直角ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结EF与AD相交于G，则AED与AGF的关系为（）A、AEDAGFB、AED=AGFC、AEDCE,所以BGCE。,3、如图，AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若DAE=x,求x的值,A=x,CBD=FGE=2xECD=EFD=3x,AED=ADE=3xx+3x+3x=180 x=180/7,4、如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC=120度的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形，求证：AMN的周长等于2。,延长AC使CE=BM，连结DE。,CDE=MDB，BDC=120，MDN=60BDM+NDC=60，NDE=NDC+CDE=60MDNEDN，MN=NEAM+AN+MN=AM+AM+NE=AM+CE+AN+NC=AB+AC=2,5、如图，已知等腰ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求PCQ的度数。,在PC上取点D使QP=QD。,A=x,AP=PQQPD=QDP=A+AQP=2xBQD=A+ADP=3x,BQ=QDQBD=90-1.5xBDC=A+ABD=90-0.5xA=x,AB=ACACB=90-0.5x,ACB=BDCBD=BC=BQ=QD,BDQ为等边三角形QBD=90-1.5x=60，x=20,ACB=ABC=80,BCQ=50,PCQ=30,等腰三角形的判定培优,知识纵横,由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是，从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形；2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形；3、用“垂直平分线”构造等腰三角形；4、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。,探索填空,1、如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长为。,分析：用“角平分线+平行线”构造等腰三角形AEF和等腰三角形BPE，则AE=AF=11-x,BP=x=BE=11-x+7,x=9,9,2、如图，ABC=50，AD垂直平分线段BC于点D，ABC的角平分线BE交AD于点E，连结EC，则AEC的度数是。3、如图，ABC中，AB=AC，B=36，D、E是BC上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形共有个。4、如图，ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，则B：C的值。,115,6,2：1,2是用“垂直平分线”构造等腰三角形，4利用“三角形中角的2倍关系。,5、已知等腰ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若ACD和ABD都是等腰三角形，则C的度数是。6、在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75度，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距离NB为b米，梯子的倾斜角为45度，则这间房子的宽AB是。,45或36度,a米,7、如图，四边形ABDC中，EDC是由ABC绕顶点C旋转40度所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则1+2=。8、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度为。9、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度。,110,15或30或75,36或180/7,分析选择,1、如图，已知RtABC中，ACB=90，BAC=30，在直线BC或AC上取一点，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）个。A、2B、4C、6D、8,C,2、如图，在ABC中，BAC=106度，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则EAM等于（）度。A、58B、32C、36D、34,B,3、如图，在ABC中，B=2C，则AC与2AB之间的关系是（）。A、AC2ABB、AC=2ABC、AC2ABD、AC2AB,D,4、在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）。,A、1.2.3B、1.2.4C、2.3.4D、1.3.4,D,5、在等边三角形ABC所在的平面内求一个点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）个。A、1B、4C、7D、10,D,6、已知ABC的三边的长分别为a、b、c，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则ABC一定是（）。A、等边三角形B、腰长为a的等腰三角形C、底边长为a的等腰三角形D、等腰直角三角形,B,（ac+ab)/bc=(b+c)/(b+c-a)a/bc=1/(b+c-a)Bc=ab+ac-a2(a-b)a+c(b-a)=0(a-c)(a-b)=0a=c或a=b,综合运用,1、如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CD,证明：延长CB至E，使AB=BE，连结AE,AB=BEE=EABABC=E+EAB=2EABC=2CC=EAC=AEADBCCD=DE=DB+BEAB+BD=CD,2、两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，边结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由。,连结MA,ADEABC可得ABD是等腰直角三角形，再证MDEMAC可得EMC是等腰直角三角形,3、如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF,延长AD至G，使AD=DG，连结BG,BGDCADBG=AC=BECAD=G=BEG=AEFAF=EF,4、如图在ABC内，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP,延长AB至M，使BM=BP，连结MP。,BAC=60，ACB=40，ABC=80，BQ平分ABC，QBC=40=C，BQ=CQ，AQ+BQ=AQ+CQ=ACAM=AB+BM=AB+BP，BM=BP，ABP=M+BPM=2M，M=40=CAMPACP,AM=AC即BQ+AQ=AB+BP,5、如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是ABC内一点，且DAC=DCA=15，求证：BD=BA,以AD为边作等边三角形ADE，连结BE,AEBAD