《线性代数期末复习》吕代数ch

第五章特征值和特征向量,复习向量的内积,定义1:,设有n维向量,称为向量与的内积.,即：,(i),(ii),(iii),性质：,定义,设为n维向量,为实数.,当时，,称为单位向量.,定义2:,当时，,称为n维向量与的夹角.,若，,则与任何向量都正交.,称为n维向量的长度或范数.,若,则称与正交.,（正交向量组）,定理1:,若n维向量是一组两两正交的非零向量,则,线性无关.,证：,设有一组数使,类似可证,因此向量组线性无关.,例1:已知3维向量空间R3中两个向量,正交,试求一个非零向量,使两两正交.,解：,设,令，,得基础解系,定义3：,设n维向量是向量空间V(VRn)的一个基,如果两两正交，且都是单位向量，则称,是V的一个规范正交基.,（正交基）,若是V的一个规范正交基，,那么V中的任一向量,应能由线性表示，,设表示式为：,证：,则,如何求V的规范正交基？,设是向量空间V的一个基，,要求V的一个规范正交基,也就是要找一组两两正交的单位向量,把规范正交化的步骤：,取,容易验证两两正交，,且与等价.,首先把正交化：,再把单位化：,取,就得到V的一个规范正交基.,施密特正交化过程,例2用施密特正交化方法,将向量组,正交规范化.,解先正交化，取,再单位化，,得规范正交向量组如下,定义4:,若n阶矩阵A满足,则称A为正交矩阵.,即,方阵A为正交矩阵,A的列向量组都是单位向量,且两两正交.,A的行向量组都是单位向量,且两两正交.,注：,正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基.,注：A是正交矩阵，则A-1=AT也是正交矩阵，且(|A|=1或-1),解：,所以A的每个列向量都是单位向量,且两两正交,故A是正交矩阵.,定义5:,若P为正交矩阵,则线性变换称为正交变换.,设为正交变换，,则有：,正交变换不改变向量的长度.,特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的求法,5.1特征值与特征向量,一特征值与特征向量的概念,n个未知数n个方程的齐次线性方程组,注:由,可得:,则称为方阵A的特征值,非零向量称为A的对应于特征值的特征向量.,定义设A是n阶方阵,如果存在数和n维非零列向量满足：,称为A的特征矩阵.,称为A的特征多项式.,称为A的特征方程.,由x非零,有,利用定义:Ax=x且x非零,例设,则A有特征值_.,解,-1,例设是A的特征值,则A2有特征值_.,解设x是属于的特征向量,即有Ax=x.所以,A2x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x.,2,适用于抽象矩阵,二特征值与特征向量的求法,方法一,适用于数字矩阵,解,A的特征多项式为：,所以A的特征值为：,2重特征值,方法二,当时,得基础解系:,当时,A+2E=,得基础解系:,所以对应于的全部特征向量为:,不全为零.,线性无关的特征向量的最大个数为2,解A的特征多项式为:,所以A的特征值为:,当时,解方程组由,得基础解系:,所以对应于的全部特征向量为,2重特征值,AE=,当时,得基础解系:,线性无关的特征向量的最大个数为1,注:1属于同一个特征值的特征向量有无穷多个！2属于同一特征值的线性无关特征向量的最大个数不一定等于它的重数，但不会超过它的重数.,解方程组(A-E)x=0.由,三特征值与特征向量的性质,性质1,不确定,证明:,作业,（1）矩阵A的n个特征值之和等于A的n个对角线元素之和，即:,（2）矩阵A的n个特征值的乘积等于A的行列式的值,即:,性质2,注1:矩阵A的n个对角线元素之和称为A的迹,记为tr(A).,