2 双变量线性回归

中央财经大学统计学院边雅静,1,第二章双变量线性回归,中央财经大学统计学院边雅静,2,回归分析概述模型的基本假设模型的参数估计模型的统计检验模型的预测实例,主要内容,中央财经大学统计学院边雅静,3,2.1回归分析概述,变量间的关系及回归分析的基本概念总体回归函数（PRF）随机扰动项样本回归函数（SRF）,中央财经大学统计学院边雅静,4,确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。,一、变量间的关系及回归分析的基本概念,变量间的关系包括：,中央财经大学统计学院边雅静,5,对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlationanalysis)或回归分析(regressionanalysis)来完成的。相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分因变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。,中央财经大学统计学院边雅静,6,回归分析的基本概念回归分析(regressionanalysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。被解释变量（ExplainedVariable）或因变量（DependentVariable）。解释变量（ExplanatoryVariable）或自变量（IndependentVariable）。,中央财经大学统计学院边雅静,7,回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：,根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；对回归方程、参数估计值进行显著性检验；利用回归方程进行分析、评价及预测。,中央财经大学统计学院边雅静,8,二、总体回归函数（PRF）,回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。,中央财经大学统计学院边雅静,9,例：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。,中央财经大学统计学院边雅静,10,中央财经大学统计学院边雅静,11,由于不确定性因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出并不完全相同；但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditionaldistribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。,中央财经大学统计学院边雅静,12,因此，给定收入X的值Xi，可以得到消费支出Y的条件均值（conditionalmean）或条件期望（conditionalexpectation）：E(Y|X=Xi)。该例中：E(Y|X=800)=605描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一条正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。,中央财经大学统计学院边雅静,13,0,500,1000,1500,2000,2500,3000,3500,500,1000,1500,2000,2500,3000,3500,4000,每月可支配收入X（元）,每月消费支出Y（元）,中央财经大学统计学院边雅静,14,在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（populationregressionline），或更一般地称为总体回归曲线（populationregressioncurve）。相应的函数：,称为（双变量）总体回归函数（populationregressionfunction,PRF）。,中央财经大学统计学院边雅静,15,含义：总体回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。函数形式：可以是线性或非线性的。例子中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:,为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regressioncoefficients）。,中央财经大学统计学院边雅静,16,“线性”一词的含义（有两种解释）,1、模型就变量而言是线性的,2、模型就参数而言是线性的,例,例如：,注：在计量经济学中，从回归理论的发展、参数的估计方法来说，主要考虑的是模型就参数而言是线性的情形。,中央财经大学统计学院边雅静,17,三、随机扰动项,总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平存在偏差。称为观察值围绕它的期望值的离差（deviation），它是一个不可观测的随机变量，又称为随机扰动项（stochasticdisturbance）或随机误差项（stochasticerror）。,中央财经大学统计学院边雅静,18,上例中，给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和：该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分；其他随机或非确定性（nonsystematic)部分为ui。称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。,中央财经大学统计学院边雅静,19,随机误差项的意义理论的模糊性数据的欠缺核心变量与周边变量人类行为的内在随机性糟糕的替代变量节省原则（Occamsrazor）错误的函数形式,中央财经大学统计学院边雅静,20,四、样本回归函数（SRF）,问题：是否能从一次抽样中获得总体的近似的信息？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？例：在上例的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？,回答：能,中央财经大学统计学院边雅静,21,该样本的散点图（scatterdiagram)如下：,画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以将该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线（sampleregressionlines）。,中央财经大学统计学院边雅静,22,样本回归线可以看成总体回归线的近似替代。样本回归线的函数形式为：即为样本回归函数（sampleregressionfunction，SRF）。,为E(Y|Xi)的估计量；为i的估计量，(i=0,1)。,中央财经大学统计学院边雅静,23,样本回归函数的随机形式/样本回归模型：,同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：,由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sampleregressionmodel）。,中央财经大学统计学院边雅静,24,回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。,即，根据,估计,中央财经大学统计学院边雅静,25,2.2模型的基本假设,仍以家庭收入X与消费支出Y之间的关系为例，每个家庭的消费支出Y主要取决于该家庭的收入X，但是也受其他因素的影响。高收入家庭，消费支出的离散性比较大(方差较大)低收入家庭，消费支出的离散性比较小(方差较小)通常，消费支出Y的分布函数是多种多样的，不一定是正态分布，也不一定是相同的分布。分布函数的方差、均值都不相同，分布函数的形式也不同。,中央财经大学统计学院边雅静,26,家庭消费支出Y是家庭收入X的条件概率函数P(Y|Xi)。这个概率函数有三个明显特征：对于不同的X，条件概率P(Y|Xi)的分布函数形式不同对于不同的X，条件概率P(Y|Xi)的方差不同对于不同的X，条件概率P(Y|Xi)的均值E(Y)一般不在同一条直线上,中央财经大学统计学院边雅静,27,对于这样的概率函数进行数学分析是非常困难的，目前还没有较好的解决办法。为了简化数学分析，通常对实际情况进行抽象，做一些假设：,假设概率函数P(Y|X)的分布函数形式相同。例如服从正态分布；假设概率函数P(Y|X)的分布函数的方差相同，均为常数u2，即Var(Yi)=Var(ui)=u2，i=1,2,n对于不同的X，Y的均值E(Y)在同一条直线上。即E(Yi)=0+1Xi，i=1,2,n这个假设是满足一元线性回归要求的。满足这些假设条件的Y的概率分布函数如图所示。,中央财经大学统计学院边雅静,28,P(,Y,|,X,),o,Y,x,2,x,3,x,4,X,i,i,X,Y,E,1,0,),(,b,b,+,=,X,1,中央财经大学统计学院边雅静,29,1）重复抽样中，解释变量是一组固定的值或虽然是随机的，但与干扰项独立；,一、对变量和模型的假定,2）无测量误差；,3）模型设定正确（不存在设定误差）,中央财经大学统计学院边雅静,30,假定1：随机误差项ui的数学期望（均值）为0，即,二、对随机扰动项（或分布）的假定,中央财经大学统计学院边雅静,31,假定2：随机误差项ui的方差与i无关，为一个常数，又称为同方差性。,Var(ui)=E(uiE(ui)2=E(ui2)=u2,i=1,2,n,如果误差项的方差不同，那么与其对应的观测值Yi的可靠程度也不相同。这会使参数的检验和利用模型进行预测复杂化。而满足同方差假设，将使检验和预测简化。,中央财经大学统计学院边雅静,32,假定3：无自相关假定，即,表示不同的误差项之间互相独立，同时，不同的被解释变量在统计上也是互相独立的。,Cov(ui,uj)=E(uiE(ui)(ujE(uj)=E(uiuj)=0，ij，i，j=1,2,n,中央财经大学统计学院边雅静,33,假定4：扰动项与解释变量之间不相关（相互独立）,Cov(ui,Xi)=E(uiE(ui)(XiE(Xi)=E(ui(XiE(Xi)=E(uiXi)E(ui)E(Xi)=E(uiXi)=0,中央财经大学统计学院边雅静,34,假定5：随机扰动项服从正态分布,如果只利用OLS进行参数估计，不需要该假设。但是若要进行假设检验和预测，就必须知道总体Yi的分布情况。如果Xi为非随机变量，总体Yi与误差项ui服从相同的分布，Yi与ui之间只有均值E(Yi)的差别。根据中心极限定理，当样本容量趋于无穷大时，假定5对于任何实际模型都是满足的。,中央财经大学统计学院边雅静,35,以上假定14也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。,中央财经大学统计学院边雅静,36,2.3模型的参数估计,参数估计最小二乘法（OLS）最小二乘估计量的性质,中央财经大学统计学院边雅静,37,X,Y,(Xn,Yn),(X1,Y1),(X2,Y2),(Xi,Yi),一、最小二乘法（OLS）,寻找实际值与拟合值的残差平方和为最小的回归直线。,残差平方和为：,中央财经大学统计学院边雅静,38,根据微积分中求极值的原理,正规方程组（normalequations）,中央财经大学统计学院边雅静,39,解方程组,得,截距项：当解释变量为零时，被解释变量的取值；,斜率项：当解释变量每变动一个单位时，被解释变量平均变动个单位。,注：令,或,中央财经大学统计学院边雅静,40,样本回归函数可以记作：,定义：,右式称为样本回归函数的离差形式。,因此,中央财经大学统计学院边雅静,41,例:讨论家庭收入X对家庭消费支出Y的影响问题。如果通过调查得到一组数据：（百元）,中央财经大学统计学院边雅静,42,中央财经大学统计学院边雅静,43,二、最小二乘估计量的性质,当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。,中央财经大学统计学院边雅静,44,一个用于考察总体的估计量，可以从以下几个方面考察其优劣性：（1）线性性，即它是否是随机变量Yi的线性函数；（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。,这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。,中央财经大学统计学院边雅静,45,在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。高斯马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem),中央财经大学统计学院边雅静,46,线性特性是指参数估计量,分别为观测值Yi,或扰动项ui的线性组合。,（一）线性性,中央财经大学统计学院边雅静,47,中央财经大学统计学院边雅静,48,（二）无偏性,证：,证：,中央财经大学统计学院边雅静,49,（三）有效性（最小方差性）,先求和的方差,证明：,中央财经大学统计学院边雅静,50,证明,中央财经大学统计学院边雅静,51,再证明所求的方差为最小方差,假设是总体参数的线性无偏估计量，有,中央财经大学统计学院边雅静,52,由是的线性无偏估计，所以,比较等式两边，有,中央财经大学统计学院边雅静,53,其中,中央财经大学统计学院边雅静,54,同理可证也有最小方差。,为最小值，且,由此证明了最小二乘估计值的方差在1的各种线性无偏估计值中为最小。,最小二乘法也称最优线性无偏估计(BLUE:bestlinearunbiasedestimators)这种特性称为高斯马尔可夫(GaussMarkov)定理。,中央财经大学统计学院边雅静,55,正态分布变量的线性组合，仍为正态分布变量。,因此,中央财经大学统计学院边雅静,56,2.4模型的统计检验,拟合优度检验方程显著性检验变量显著性检验,中央财经大学统计学院边雅静,57,回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行统计检验。主要包括拟合优度检验、方程的显著性检验及变量的显著性检验，其中还会涉及参数的区间估计问题。,中央财经大学统计学院边雅静,58,一、拟合优度检验,拟合优度检验：是检验模型对样本观测值的拟合程度。检验的具体方法，是构造一个可以表征拟合程度的指标，在这里被称为统计量。统计量是样本的函数。从检验对象中计算出该统计量的数值，然后与某一标准进行比较，得出检验结论。度量拟合优度的指标：判定系数（可决系数）R2,中央财经大学统计学院边雅静,59,有人也许会问，采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合样本观测值，为什么还要检验拟合程度？问题在于，在一个特定的条件下做得最好的并不一定就是高质量的。普通最小二乘法所保证的最好拟合，是同一个问题内部的比较，拟合优度检验结果所表示的优劣是不同问题之间的比较。,中央财经大学统计学院边雅静,60,例如上面两图的直线方程都是由散点表示的样本观测值的最小二乘估计结果，对于每个问题它们都满足残差的平方和最小，但是二者对样本观测值的拟合程度显然是不同的。,中央财经大学统计学院边雅静,61,1.总离差平方和的分解,已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2,n，得到样本回归直线：,总偏差(离差),可解释偏差(回归偏差),残差(随机偏差),中央财经大学统计学院边雅静,62,来自残差,来自回归,是样本回归拟和值与观测值的平均之差，可以认为是由回归直线解释的部分；,是实际观测值与回归拟和值之差，可以认为是回归直线不能解释的部分。,中央财经大学统计学院边雅静,63,如果Yi=i即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。可以认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。,对于所有样本点，则需考虑这些点（观测点）与样本均值离差（总离差）的平方和，可以证明：,中央财经大学统计学院边雅静,64,证：,中央财经大学统计学院边雅静,65,ESS(Explainedsumofsquares)为回归平方和，反映由模型中解释变量所解释的那部分离差的大小,TSS(Totalsumofsquares)为总体平方和，反映样本观测值总体离差的大小,TSS=ESS+RSS,RSS(Residualsumofsquares)为残差平方和，反映样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小,中央财经大学统计学院边雅静,66,显然，ESS在TSS中所占比例越大，RSS在TSS中所占比例越小，说明回归参数估计值的显著性越强。,因此，可以选择总体平方和与回归平方和的接近程度作为一个评判模型拟合优度的标准。,即样本回归线,与样本观测值拟合,TSS=ESS+RSS,得越好。,中央财经大学统计学院边雅静,67,既然RSS反映样本观测值与估计值偏离的大小，是否可以直接用它作为拟合优度检验的统计量？,作为检验统计量的一般是相对量，而不能用绝对量。因为用绝对量作为检验统计量，无法设置标准。RSS(残差平方和)与样本容量关系很大，当n比较小时，它的值也较小，但不能因此而判断模型的拟合优度就好。,中央财经大学统计学院边雅静,68,回归平方和：RSS(Regressionsumofsquares)或SSR(Sumofsquaresduetoregression)残差平方和：ESS(errorsumofsquares)或SSE(Sumofsquaresduetoerror),注意：在有些计量经济学著作中所使用的符号与我们相反：,中央财经大学统计学院边雅静,69,定义：,R2表示模型拟合的程度，称为拟合优度或判定系数(coefficientofdetermination)。,2.拟合优度的度量,中央财经大学统计学院边雅静,70,因为0ESSTSS，0RSSTSS所以0R21,R2越接近1，说明实际观测点离样本回归线越近，拟合优度越高。,中央财经大学统计学院边雅静,71,对于双变量线性回归模型,中央财经大学统计学院边雅静,72,仍以上一节的例子说明,中央财经大学统计学院边雅静,73,在实际应用中，达到多大才算通过了检验，没有绝对的标准，要看具体情况而定。模型的拟合优度并不是判断模型质量的唯一标准。有时甚至为了追求模型的经济意义，可以牺牲一点拟合优度。,中央财经大学统计学院边雅静,74,对于变量之间的关系，有多种分析方法。除了回归分析方法之外，相关分析方法也可以用于分析变量之间的关系。,通常把相关分析作为回归分析的补充分析方法。由拟合优度可以引入样本相关系数r(samplecorrelationcoefficient),中央财经大学统计学院边雅静,75,r的数值与R2有关，但概念不同。,中央财经大学统计学院边雅静,76,二、方程显著性检验,方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。,我们利用F统计量对方程的显著性进行检验，F检验的思想来自于总离差平方和的分解式，使用的是方差分析的原理。,中央财经大学统计学院边雅静,77,F检验的思想,TSS=ESS+RSS,中央财经大学统计学院边雅静,78,F统计量,根据数理统计的结论：,因此，建立统计量,我们可以利用F统计量对回归方程进行显著性检验。,中央财经大学统计学院边雅静,79,F检验的步骤,（1）提出假设：,（2）利用样本值计算统计量：,（3）,中央财经大学统计学院边雅静,80,仍以上个例子说明,（1）提出假设：,（2）利用样本值计算统计量：,（3）,中央财经大学统计学院边雅静,81,三、变量显著性检验,回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一个显著性的影响因素。在双变量线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。,变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假设检验。计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。,中央财经大学统计学院边雅静,82,中央财经大学统计学院边雅静,83,中央财经大学统计学院边雅静,84,随机误差项方差的估计变量的显著性检验总体参数的置信区间,本小节的主要内容包括,中央财经大学统计学院边雅静,85,残差ei可以看作误差项ui的估计值。因此，我们可以用残差ei的方差作为2的估计值。,1.随机误差项方差的估计,中央财经大学统计学院边雅静,86,上式中为待定的ei的自由度。由于残差ei是由样本得到的，样本容量n总是有限的，并且由于残差ei存在约束条件，因此ei的自由度n。的数值由2的估计值应该具有无偏性的条件求出。,中央财经大学统计学院边雅静,87,所以,根据,中央财经大学统计学院边雅静,88,其中,中央财经大学统计学院边雅静,89,实际上，由于最小二乘估计要求满足如下两个条件：,因此，自由度必然是n-2，2代表有两个约束条件。,中央财经大学统计学院边雅静,90,当参数方差中的总体方差未知时，用的无偏估计量来代替。,S称为误差项的标准差。,中央财经大学统计学院边雅静,91,有了的方差估计，就可以对最小二乘估计进行显著性检验，也可以估计总体参数的置信区间。,简称为标准误（standarderroroftheregression）。,中央财经大学统计学院边雅静,92,2.变量的显著性检验,利用正态分布转化公式，可以构造与0和1有关的假设。,中央财经大学统计学院边雅静,93,其中，(n-k)为自由度，k为估计参数的总数。对于双变量线性回归模型，有两个参数，k=2。,建立t统计量,中央财经大学统计学院边雅静,94,t分布是对称分布函数，所以,t落入区间()内的概率是,t的临界值除了与显著性水平有关，还与自由度(n-k)有关。,中央财经大学统计学院边雅静,95,变量显著性检验的步骤,（1）对总体参数提出假设原假设H0：1=0；备择假设H1：10,（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值,（3）给定显著性水平，查t分布表得临界值t/2(n-2),中央财经大学统计学院边雅静,96,(4)比较、判断得出结论,可以认为假设H0：1=0成立的概率很大。因此接受原假设H0：1=0，拒绝对立假设H1：10。,可以认为假设H0：1=0成立的概率很小。因此拒绝原假设H0：1=0，接受对立假设H1：20。,中央财经大学统计学院边雅静,97,仍以前面的例子说明,（1）提出原假设和备择假设,（2）计算t统计量的值,（3）设定=0.05，查t分布表得,所以拒绝原假设H0：1=0，接受备择假设H1：10。认为X变量是显著的。,（4）得到结论，由于：,中央财经大学统计学院边雅静,98,其他形式的检验,中央财经大学统计学院边雅静,99,对0的检验,通常情况下，回归模型中的截距项是需要保留的，尽管有的时候它并没有什么实际的经济含义，但为了保证最小二乘法满足假定条件，并使得参数估计量是无偏的，截距项都不会被去除。,对于特殊的情况，比如E(X)=0时，有Y=0，那么，双变量模型的形式可以设定为过原点的形式，此时参数估计量仍是无偏的。,中央财经大学统计学院边雅静,100,3.总体参数的置信区间,假设检验可以通过一次抽样的结果来检验总体参数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。要想判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似”地替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的置信区间估计。,中央财经大学统计学院边雅静,101,要判断估计的参数值离真实的参数值有多“近”，可预先选择一个概率a(0a1)，并求一个正数d，使得随机区间包含参数真值的概率为1-a。即,置信区间可以以一定概率推断总体参数所处的区间，从而推断总体回归线所在的区域。,中央财经大学统计学院边雅静,102,i(i=0，1）的置信区间,在变量的显著性检验中已经知道：,这意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。,中央财经大学统计学院边雅静,103,i(i=0，1）的置信区间,可以表示为：,即,i(i=0，1）的水平的置信区间就可以表示为：,中央财经大学统计学院边雅静,104,给定置信水平0.05，从t分布表中查得自由度为8的临界值为t/22.306,仍以前面的例子说明,则参数在95显著性水平下的置信区间为：,中央财经大学统计学院边雅静,105,由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间是越小越好。,要缩小置信区间，可以采取以下措施：(1)增大样本容量n，因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；(2)提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。,中央财经大学统计学院边雅静,106,补充说明精确的显著性水平p值,比如，上个例子中截距项估计值的p值为0.1109，这表示拒绝原假设（截距项为零）的概率为11，如果显著性水平设定为5，那么我们就不能拒绝原假设，然而可以认为以89的可能性接受截距项非零。同样，另一个参数的p值为0.0000，显然我们拒绝原假设有充分的理由。,一般来说，当p值低于我们设定的显著性水平时，我们会拒绝原假设。,p值是一个概率值（ProbabilityValue），被称为是精确的显著性水平，它是原假设可被拒绝的最低显著水平。,一般计量经济软件在进行假设检验得到统计量值的同时，都会给出相应的p值。,中央财经大学统计学院边雅静,107,补充说明残差的正态性检验,残差直方图正态概率图JB检验,中央财经大学统计学院边雅静,108,残差直方图（HistogramofResiduals）,用于了解随机变量概率密度函数的形状如何。横轴将变量划分为若干适当的区间，在每个区间，建立高度与观察值个数相一致的长方形。如果呈正态分布，则长方形的排列大致会如同钟型的走势。,中央财经大学统计学院边雅静,109,正态概率图（NormalProbabilityPlot）,简称为NPP，常在专用的正态概率纸上作图。横轴标出所关注变量的值，在纵轴标出该变量服从正态分布所对应的均值。如果该变量来自正态总体，则正态概率图将近似为一条直线。,中央财经大学统计学院边雅静,110,是一种针对大样本变量的检验方法，或称为渐进检验。首先计算偏度系数S和峰度系数K，对于正态分布变量，S=0，K=3。如果变量服从正态分布，则JB统计量的值为0。可以通过JB统计量的p值进行正态程度的判断。,Jarqe-Bera检验,建立JB统计量：,在正态性假定下，JB统计量渐进地服从自由度为2的分布，即,中央财经大学统计学院边雅静,111,补充说明回归结果的提供和分析,回归结果提供的两种格式,当然，除了这些基本信息以外，一般还会列出样本区间、DW值等重要信息。这会在后面的课程中说明。,中央财经大学统计学院边雅静,112,补充说明回归结果的提供和分析,回归结果的分析应包括以下内容参数的说明拟合情况方程的显著性系数的显著性其他（比如DW检验的情况）,中央财经大学统计学院边雅静,113,2.5模型的预测,参数估计量不确定随机项的影响,严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因:,中央财经大学统计学院边雅静,114,均值预测和个值预测,均值预测（meanprediction）：对应于选定的X0，预测Y的条件均值，也就是总体回归线上的点,个值预测（individualprediction）：对应于X0的Y的一个个别值,在点预测的同时，我们还可以找到预测值的置信区间,中央财经大学统计学院边雅静,115,0是条件均值E(Y|X=X0)的一个无偏估计,对总体回归函数E(Y|X=X0)=0+1X，当X=X0时E(Y|X=X0)=0+1X0,于是,可见，0是条件均值E(Y|X=X0)的无偏估计。,中央财经大学统计学院边雅静,116,0是个值Y0的一个无偏估计,对总体回归模型Y=0+1X+u，当X=X0时，Y0=0+1X0+u,于是,可见，0是个值的无偏估计。,中央财经大学统计学院边雅静,117,总体均值预测值的置信区间,由于,于是,可以证明,中央财经大学统计学院边雅静,118,因此,故,中央财经大学统计学院边雅静,119,于是，在1-的置信度下，总体均值E(Y|X0)的置信区间为,其中,中央财经大学统计学院边雅静,120,总体个值预测值的预测区间,由Y0=0+1X0+u知:,于是,从而在1-的置信度下，Y0的置信区间为,中央财经大学统计学院边雅静,121,仍以前面的例子说明,中央财经大学统计学院边雅静,122,结果,总体均值E(Y|X=80)的95%的置信区间为：,同样地，对于Y在X=80的个体值，其95%的置信区间为：,即为：,（39.175，49.955）,即为：,（33.155，51.975）,中央财经大学统计学院边雅静,123,总体回归函数的置信带（域）（confidenceband）与个体的置信带（域）的比较,中央财经大学统计学院边雅静,124,总结,样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。,中央财经大学统计学院边雅静,125,2.6实例,凯恩斯的绝对收入假说消费函数选举结果和竞选支出CEO的薪水和净资产回报率工资和教育,中央财经大学统计学院边雅静,126,一、凯恩斯的绝对收入假说消费函数,现代经济学家针对消费和储蓄行为提出了许多假说，包括凯恩斯的绝对收入假说、杜森贝利(J.S.Duesenberry)的相对收入假说、莫迪利安尼(F.Modiglianni)的生命周期理论、弗里德曼的永久收入假说等。我们使用中国19851999年的实际数据来估计凯恩斯消费函数。模型的形式为：,中央财经大学统计