数学物理方法PPT课件

04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,1,数学物理方法,复变函数论,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,2,复变函数论,复数复变函数导数解析函数本章小结,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,3,复数,数的扩张（完善化）自然数减法不封闭整数除法不封闭有理数不完备实数方程可解性复数,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,4,复数,复数的表示代数表示z=x+iyx=Real(z),y=Imagine(z)三角表示z=r(cos+isin)r=|z|,=Arg(z)指数表示z=rexp(i)exp(i)=cos+isin,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,5,复数,几何表示,关系x=rcosy=rsinr=(x2+y2)=Arctan(y/x)特点无序性复数无大小矢量性复数有方向,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,6,复数,运算加减法(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2)乘除法r1exp(i1)r2exp(i2)=r1r2expi(1+2)幂和开方rexp(i)n=rnexp(in)rexp(i)1/n=r1/nexp(i/n)复共轭z=x+iyz*=xiyz=rexp(i)z*=rexp(-i),04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,7,复变函数,概念定义函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射实变函数：f:xy复变函数：f:zw举例f(n)=fn=(1+i)n,nNf(z)=znf(z)=exp(z)f(z)=ln(z),04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,8,复变函数,更多的例子w=az2w=az2+bz+cw=1/(az+b)w=(az+b)w=Ln(az+b)w=sinzw=Arccoszw=anznw=ansin(nz)w=(1-z2/n22)w=exp(-z2)dz,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,9,复变函数,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,10,复变函数,分析与比较定义域和值域相同点：都是数集不同点：实数集是一维的，可以在(直)线上表示；复数集是二维的，必须在(平)面上表示。典型例子：|x|2是连通的，1|x|是不连通的；|z|2是单连通的，10,N(),s.t.nN()=|s-sn|收敛,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,50,复级数,收敛性判别法级数i=1ui比值法=limk|uk+1/uk|1，发散。根值法=limk|uk|1/k1，发散。,例：判断几何级数的敛散性n=0a0qn解：1.比值法=|q|q|1，发散。2.根值法=|q|limk|a0|1/k=|q|q|1，发散。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,51,复级数,复函项级数形式：i=1ui(z)通项：ui(z)部分和函数：sn(z)=i=1nui(z)和函数：s(z)=limsn(z)收敛域：z|s(z)存在定义：0,N(,z),s.t.nN(,z)|s(z)-sn(z)|0,N(),s.t.nN()|s(z)-sn(z)|1，发散。一致收敛性：s(z)dz=k=0ak(z-b)kdzs(z)=k=0ak(z-b)k,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,53,幂级数和泰勒展开,泰勒展开问题：一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？泰勒定理：一个在圆|z-b|=R内解析的函数f(z)可以展开为幂级数f(z)=k=0ak(z-b)k该幂级数在圆|z-b|=R内收敛；以b为中心的展开式是唯一的；系数ak=f(n)(b)/n!应用柯西积分公式，系数也可以表示为,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,54,幂级数和泰勒展开,展开方法基本方法（用定理）f(z)=k=0ak(z-b)k，an=f(n)(b)/n!例1：题目：在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。解答：f(z)=exp(z)f(n)(z)=exp(z)f(n)(0)=1an=1/n!f(z)=k=0zk/k!该幂级数在圆|z|内收敛；,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,55,幂级数和泰勒展开,例2：题目：在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。解答：f(z)=1/(1-z)f(z)=1/(1-z)2f”(z)=2/(1-z)3f(n)(z)=n!/(1-z)n+1f(n)(0)=n!an=1f(z)=k=0zk该幂级数在圆|z|1内收敛；,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,56,幂级数和泰勒展开,发散方法（用性质）线性组合的展开=展开之线性组合。和函数的积分=各项积分之和；和函数的导数=各项导数之和；例3：题目：在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。解答：cosh(z)=exp(z)+exp(-x)/2exp(z)=k=0zk/k!exp(-z)=k=0(-z)k/k!cosh(z)=k=0zk/k!+(-z)k/k!/2=k=0z2k/(2k)!该幂级数在圆|z|内收敛；,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,57,幂级数和泰勒展开,例4：题目：在b=0的邻域上把f(z)=ln(1-z)展开。解答：ln(1-z)=-(1-z)-1dz(1-z)-1=k=0zkln(1-z)=-k=0zkdz=-k=0zk+1/(k+1)例5：题目：在b=0的邻域上把f(z)=(1-z)-2展开。解答：(1-z)-2=(1-z)-1(1-z)-1=k=0zk(1-z)-2=k=0zk=k=0kzk-1,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,58,双边幂级数和罗朗展开,负幂级数形式：s(z)=k=0ak(z-b)-k收敛域：t=1/|z-b|t|=1/|z-b|R=1/R双边幂级数形式：s(z)=k=-ak(z-b)k分析双边幂级数=正幂级数+负幂级数收敛域：R|z-b|R,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,59,双边幂级数和罗朗展开,罗朗展开问题：一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？罗朗定理：一个在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)可以展开为双边幂级数f(z)=k=ak(z-b)k该幂级数在环R10的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。解答：exp(t)=k=0tk/k!exp(1/z)=k=0z-k/k!,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,61,双边幂级数和罗朗展开,例3：题目：以b=0为中心把f(z)=1/z(z-1)展开。分析因为f(z)有两个单极点z=0和z=1,所以它以b=0为中心的解析环有两个0|z|1和1|z|，需要分别展开解答：在环域0|z|1中f(z)=1/z(z-1)=-1/z(1-z)=-1/zk=0zk=-k=0zk-1在环域1|z|中f(z)=1/z(z-1)=1/z2(1-z-1)=1/z2k=0z-k=k=0z-k-2,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,62,孤立奇点,概念奇点：定义：函数的非解析点；举例：csc(z)在z=n,csc(1/z)在z=0，1/n；判断：初等函数在其定义域内解析；孤立奇点：定义：存在解析邻域的奇点；举例：csc(z)在z=n为孤立奇点,csc(1/z)在z=0为非孤立奇点；特点：本身无定义，对周围有影响；判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,63,孤立奇点,分类原则：根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；分类：极限为有限值，称为可去奇点，例如sinz/z；极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如1/zn；极限不存在，称为本性奇点，例如exp(1/z)；性质奇点邻域罗朗展开式可去奇点：无负幂项；(n阶)极点：有限个负幂项，(最高为n次)；本性奇点：无限多个负幂项；,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,64,本章小结,双边幂级数形式：s(z)=k=-ak(z-b)k性质：在环域内一致收敛罗朗展开条件：在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)定理：可以展开为双边幂级数f(z)=k=ak(z-b)k孤立奇点可去奇点：极限有限，邻域展开式无负幂项；(n阶)极点：极限无穷，邻域展开式有有限个负幂项；本性奇点：极限不存在，邻域展开式有无限多个负幂项。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,65,数学物理方法,留数定理,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,66,留数定理,留数定理留数定理的应用本章小结,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,67,留数定理,留数引入问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。定性定义复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果；当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下；当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值；定量定义,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,68,留数定理,留数的计算一般情况孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数；Resf(z0)=a-1证明,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,69,留数定理,极点情况m阶极点的留数由下面的公式确定,证明,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,70,留数定理,单极点情况单极点的留数由下面的公式确定,如果f(z)为分式，即f(z)=P(z)/Q(z),P(z0)0，则有,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,71,留数定理,例1问题：计算函数f(z)=z2exp(1/z)的留数。解：f(z)有一个孤立奇点z=0,是本性奇点，在该点罗朗展开,例2问题：计算函数f(z)=sin(z)/(z-1)2的留数。解：f(z)有一个孤立奇点z=1,是2阶极点，应用公式,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,72,留数定理,例3问题：计算函数f(z)=exp(z)/z(z-1)的留数。解：f(z)有两个孤立奇点z=0,1,都是1阶极点，应用公式,又解：也可以用单极点的简化公式,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,73,留数定理,留数定理定理设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点z1,z2,zn外解析，在对应的闭区域上除z1,z2,zn外连续，则,应用步骤确定回路L内的孤立奇点；判断留数定理的条件是否满足；计算各孤立奇点的留数；代入定理。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,74,留数定理的应用,基本应用例题1：计算下列回路积分,解：奇点为,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,75,留数定理的应用,实变函数的定积分基本思想变形法：变线段为封闭曲线；辅助线法：加辅助线使线段封闭。类型一被积函数是三角函数的有理式,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,76,留数定理的应用,解：作变量变换,例题2：计算下列定积分,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,77,留数定理的应用,类型二被积函数是有理分式的广义积分,其中：分母在实轴上没有零点；分母比分子高两次或以上。则：,证明：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,78,留数定理的应用,解：被积函数是有理式，分母比分子高4次，在实轴无零点，满足定理的条件。上半平面内有单极点z=i和z=2i，对应的留数分别为：,例题3：计算下列定积分,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,79,留数定理的应用,类型二的推广I被积函数是有理分式的广义积分,其中：分母在实轴上有一阶零点；分母比分子高两次或以上。则：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,80,留数定理的应用,解：被积函数是有理式，分母比分子高3次，在实轴有一阶零点，满足定理的推广条件。上半平面有单极点z=2i，实轴有单极点z=1，对应留数：,例题4：计算下列定积分,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,81,留数定理的应用,类型二的推广II被积函数是广义积分,其中：f(x)为有理式分母在实轴上没有零点；分母比分子高一次或以上。则：,证明：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,82,留数定理的应用,解：上面的积分可以化为标准形式,例题5：计算下列定积分,被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点z=5i，对应的留数为：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,83,留数定理的应用,类型二的推广III被积函数是广义积分,其中：f(x)为有理式分母在实轴上有一阶零点；分母比分子高一次或以上。则：,例题6：计算下列定积分,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,84,本章小结,概念留数：回路积分留下的数；计算单极点：一般极点：一般孤立奇点：应用直接应用计算回路积分；间接应用计算三角有理式的积分；计算有理式的广义积分及其推广。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,85,数学物理方法,傅立叶变换,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,86,傅立叶变换,傅立叶级数傅立叶变换狄拉克函数本章小结,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,87,傅立叶级数,三角级数定义由周期为2的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数,基本函数族组成：1，cos(nx)，sin(nx)性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,88,傅立叶级数,傅立叶展开傅立叶展开定理：周期为2的函数f(x)可以展开为三角级数，展开式系数为,狄利克雷收敛定理收敛条件在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；在一个周期内至多只有有限个极值点。收敛结果当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,89,傅立叶级数,展开举例对称函数对奇函数：,对偶函数：,典型周期函数(周期为2),04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,90,傅立叶级数,傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。例如：对称方波的傅立叶展开,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,91,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,92,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,93,傅立叶级数,重要推广推广1：问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开：方法：对基本公式作变换xt/L，,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,94,傅立叶级数,推广2问题：把定义在-L,L上的函数f(t)展开；方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期为2L的函数的一部分)，再按推广1展开；注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。延拓前延拓后,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,95,傅立叶级数,推广3问题：把定义在0,L上的函数f(x)展开；方法：先把它延拓为-L,L上的奇函数或偶函数，再按推广2把它延拓为周期函数，最后按推广1展开；注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。公式：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,96,傅立叶级数,展开的复数形式展开公式：,基本函数族：,正交性：,展开系数：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,97,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示”1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,98,傅立叶变换,非周期函数的傅立叶展开问题：把定义在（，）中的非周期函数f(x)展开；思路：把该函数定义在（L，L）中的部分展开，再令L；实施：展开公式,展开系数：,困难展开系数cn为无穷小；幂指数nx/L不确定。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,99,傅立叶变换,解决方法：把n/L作为新变量，即定义n=n/L；把cnL/作为新的展开系数，即定义F(n)=cnL/.公式的新形式：展开公式：,展开系数：,取极限：傅立叶变换：,傅立叶积分：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,100,傅立叶变换,例题1矩形函数的定义为,求矩形脉冲x(t)=rect(t/2T1)的傅立叶变换。解：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,101,傅立叶变换,例题2将矩形脉冲f(t)=hrect(t/2T)展开为傅立叶积分。解：先求出f(t)的傅立叶变换,代入傅立叶积分公式，得,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,102,例题3求对称指数函数f(t)的傅立叶变换,傅立叶变换,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,103,傅立叶变换,傅立叶变换的意义数学意义从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F()称为象函数。应用意义把任意函数分解为简单周期函数之和，F()的自变量为频率，函数值为对应的振幅。物理意义把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。物理实现分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,104,傅立叶变换,傅立叶变换的性质一般假定f(x)F()，g(x)G()奇偶虚实性f(x)为偶函数，F()=f(x)cos(x)dx/(2)为实函数；f(x)为奇函数，F()=-if(x)sin(x)dx/(2)为虚函数线性性质kf(x)kF()；f(x)+g(x)F()+G()分析性质f(x)iF()；,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,105,傅立叶变换,位移性质f(x-a)exp(-ia)F()；exp(ix)f(x)F(-)相似性质f(ax)F(/a)/a；f(x/b)/bF(b)。卷积性质f(x)*g(x)f()g(x-)d2F()G()；f(x)g(x)F()*G()F()G(-)d对称性质正变换与逆变换具有某种对称性；适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,106,傅立叶变换,应用举例,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,107,傅立叶变换,验证,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,108,傅立叶变换,推广推广1问题：把定义在0,)上的函数f(t)展开；方法：先把它延拓为(-,)上的奇函数或偶函数，再按公式进行傅立叶变换；注意：偶函数满足条件f(0)=0，形式为f(|t|)；奇函数满足条件f(0)=0，形式为sgn(t)f(|t|).结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,109,傅立叶变换,推广2问题：多元函数的傅立叶变换公式：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,110,傅立叶变换,推广3傅立叶变换的收敛条件:|F()|f(x)|dx0为双曲型，如波动方程；=0为抛物线型，如热传导方程；0为椭圆型，如稳定场方程。,判断：,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,143,叠加原理,原理：线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程如：Lu1=f1Lu2=f2则：L(au1+bu2)=af1+bf2应用：齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,144,定解问题,问题的提出定解条件初始条件边界条件定解问题初值问题边值问题混合问题,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,145,定解问题的提出,方程u(t)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？方程u”(x)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？由此可归纳出n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，要完全确定这些常数需要附加n个条件。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,146,初始条件,意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u|t=0=f(x)表示；初始变化（速度），用ut|t=0=g(x)表示。典型例子一维热传导未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bu|t=0=a+(b-a)x/L,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,147,初始条件,一维弦振动未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件初始位移处于平衡位置：u|t=0=0两端固定，在c点拉开距离h：u|t=0=hx/c，0xc;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，cxL;初始速度处于静止状态：ut|t=0=0在c点受冲量I：ut|t=0=I(x-c)/,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,148,边界条件,意义反映特定环境对系统的影响分类按条件中未知函数及其导数的次数分：线性边界条件和非线性边界条件；线性边界条件中按给出的是函数值或导数值分：第一、二、三类边界条件；按所给数值是否为零分：齐次边界条件和非齐次边界条件。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,149,边界条件举例,典型线性边界条件一维弦振动固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/一维杆振动固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一维热传导恒温端u|x=0=a绝热端ux|x=0=0吸热端ux|x=0=F/k,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,150,定解问题,定解问题的组成泛定方程：反映同一类现象的普遍性；定解条件：描述具体对象的特殊性。定解问题的分类初值问题(CauchyProblem)无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）边值问题无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计）第一边值问题(DirichletProblem)第二边值问题(NeumannProblem)第三边值问题(RobinProblem)混合问题同时有边界条件和初始条件。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,151,定解问题,定解问题的适定性适定性的意义定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。适定性的内容存在性唯一性稳定性不适定问题举例一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；条件多了，将会破坏解的存在性；条件少了，将会破坏解的唯一性。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,152,达朗贝尔公式,定解问题的求解思路I原则：由已知猜未知方法：类比法步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。泛定方程的求解达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的应用,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,153,泛定方程的求解,常微分方程方程：u=2ax通解：u=ax2+C偏微分方程方程：ux=2yx通解：u=yx2+C(y)二阶方程：uxy=0对y偏积分：ux=C(x)通解：u=C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y),04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,154,达朗贝尔公式的推导,定解问题通解特解意义,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,155,达朗贝尔公式的推导通解,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,156,达朗贝尔公式的推导特解,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,157,达朗贝尔公式的推导意义,解：将初始条件代入达朗贝尔公式,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,158,达朗贝尔公式的推导意义,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,159,达朗贝尔公式的应用,任意给定初始条件u|t=0=2exp(-x2),ut|t=0=0附加边界条件u|x=0=0ux|x=0=0u|x=0=u0u|x=0=0,u|x=L=0,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,160,达朗贝尔公式的应用,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,161,本章小结,波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性,演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度,泛定方程边界条件初始条件,定解问题,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,162,数学物理方法,第九章二阶常微分方程,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,163,二阶常微分方程,常用齐次定解问题数学物理中的对称性特殊函数常微分方程常微分方程的级数解法斯图姆刘维尔本征值问题本章小结,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,164,常用齐次定解问题,常用齐次定解问题的要素常用齐次定解问题的分类拉普拉斯算符的形式拉普拉斯算符形式的推导,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,165,常用齐次定解问题要素,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,166,常用齐次定解问题的分类,！,！,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,167,拉普拉斯算符的形式,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,168,极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,极坐标下的形式,直角坐标下的形式,坐标变换关系,微分变换关系,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,169,数学物理中的对称性,对称性的概念定义：对称性就是在某种变换下的不变性分类对称性的描述对称性原理当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。对称性的应用,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,170,对称性的分类,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,171,对称性的描述,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,172,对称性的应用柱坐标输运方程,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,173,特殊函数常微分方程,球坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程轴对称情况勒让德方程极坐标下热传导方程的分离变量一般情况亥姆霍兹方程，贝塞尔方程轴对称情况,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,174,球坐标下拉普拉斯方程,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,175,球坐标下拉普拉斯方程,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,176,极坐标下热传导方程,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,177,常微分方程的级数解法,常微分方程中点的分类各点邻域级数解的形式勒让德方程的级数解贝塞尔方程的级数解,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,178,常微分方程中点的分类,二阶变系数常微分方程的一般形式w”+p(z)w+q(z)w=0方程中点的分类常点：z0是p(z)和q(z)的解析点正则奇点：z0是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析点非正则奇点：其它情况,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,179,各点邻域级数解的形式,非正则奇点z0邻域有一解为,常点z0邻域两解均为,正则奇点z0邻域有一解为其中s由判定方程确定,a00,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,180,勒让德方程的级数解,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,181,勒让德方程的级数解,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,182,勒让德方程的级数解,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,183,勒让德方程的级数解,性质：奇偶性：y0为偶函数，y1为奇函数；退化性：l为非负整数时，级数解退化为多项式；收敛性：特解的收敛半径为1；有界性：在x=1时，非退化级数解发散。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,184,贝塞尔方程的级数解,ak0=0,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,185,贝塞尔方程的级数解,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,186,贝塞尔方程的级数解,性质：奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数；收敛性：特解的收敛半径为；有界性：在x0，m0时,Jm有界，Nm发散。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,187,斯图姆刘维尔本征值问题,本征值问题本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值本征函数：相应的非零解本征值问题：求本征值和本征函数的问题斯特姆刘维尔本征值问题斯特姆刘维尔型方程斯特姆刘维尔型边界条件斯特姆刘维尔本征值问题的性质可数性：存在可数无限多个本征值；非负性：所有本征值均为非负数；正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,188,斯特姆刘维尔本征值问题,斯特姆刘维尔型方程,其中k(x)、q(x)和(x)都非负；k(x)、k(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。斯特姆刘维尔型边界条件三类齐次边界条件周期性边界条件有界性边界条件,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,189,斯特姆刘维尔本征值问题,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,190,本征函数集合的正交性和完备性,正交性,完备性,展开系数,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,191,本征函数集合的正交性和完备性,例题1,问题,本征函数,正交性,完备性,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,192,本征函数集合的正交性和完备性,例题2,问题,本征函数,正交性,完备性,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,193,本征函数集合的正交性和完备性,例题3,问题,本征函数,正交性,完备性,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,194,本章小结,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,195,数学物理方法,第十章球函数,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,196,球函数,轴对称问题和勒让德多项式转动对称问题和连带勒让德函数一般问题和球函数本章小结,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,197,轴对称问题和勒让德多项式,轴对称拉普拉斯方程的求解勒让德多项式勒让德多项式的母函数和递推公式勒让德多项式的性质勒让德多项式的应用,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,198,轴对称拉普拉斯方程的求解,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,199,勒让德多项式,定义,一般表示,具体形式,级数表示,微分表示,积分表示,代数表达式,图象,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,200,勒让德多项式的代数表达式,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,201,勒让德多项式的图象,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,202,勒让德多项式的图象,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,203,母函数和递推公式,母函数定义：u(x,r)=Pl(x)rl形式：u(x,r)=(12rx+r2)-1/2推导应用递推公式基本递推公式证明应用,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,204,母函数的推导,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,205,母函数的应用,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,206,基本递推公式,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,207,递推公式的证明,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,208,递推公式的应用,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,209,勒让德多项式的性质,奇偶性Pl(-x)=(-1)lPl(x)零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模正交性应用例题完备性完备性公式广义傅立叶系数完备性应用例题,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,210,勒让德多项式的正交性,模,正交性,正交性应用例题,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,211,勒让德多项式模的计算,04.05.2020,徐州工程学院数理方法教案滕绍勇,212,勒让德多项式的完备性,广义傅立叶系数为,完备性,如果函数f(x)满足适当的条件，则有,04.05.2020,徐州工程学院